Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

​1​ ​A ® gebra​und​Geometrie 1.1​Grundbegriffe​der​A ® gebra AG 1.1 Wissen überdie Zah ® enmengen N , ℤ , Q , ℝ , C verständig einsetzen können AG 1.2 Wissen über a ® gebraischeBegriffe angemessen einsetzen können:Variab ® e, Terme, Forme ® n, (Un-)G ® eichungen,G ® eichungssysteme;Äquiva ® enz,Umformungen, Lösbarkeit 1.2​(Un-)​G ® eichungen​und​G ® eichungssysteme AG 2.1 Einfache Terme und Forme ® n aufste ®® en,umformen und imKontextdeuten können AG 2.2 LineareG ® eichungen aufste ®® en, interpretieren,umformen/ ® ösenunddie Lösung imKontextdeuten können AG 2.3 QuadratischeG ® eichungen in einerVariab ® en umformen/ ® ösen,über Lösungsfä ®® eBescheidwissen, Lösungen und Lösungsfä ®® e (auchgeometrisch)deuten können AG 2.4 LineareUng ® eichungen aufste ®® en, interpretieren,umformen/ ® ösen, Lösungen (auchgeometrisch)deuten können AG 2.5 LineareG ® eichungssysteme in zweiVariab ® en aufste ®® en, interpretieren,umformen/ ® ösen,über Lösungsfä ®® e Bescheidwissen, Lösungen und Lösungsfä ®® e (auchgeometrisch)deuten können 1.3​Vektoren AG 3.1 Vektoren a ® s Zah ® entupe ® verständig einsetzen und imKontextdeuten können AG 3.2 Vektorengeometrisch (a ® sPunktebzw.Pfei ® e)deutenund verständig einsetzen können AG 3.3 DefinitionderRechenoperationenmitVektoren (Addition,Mu ® tip ® ikationmit einemSka ® ar, Ska ® armu ® tip ® ikation) kennen,Rechenoperationen verständig einsetzen und (auchgeometrisch)deuten können AG 3.4 Geradendurch (Parameter-)G ® eichungen in R 2 und R 3 angeben können;Geradeng ® eichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischenGeraden und zwischenPunkt undGerade) ana ® ysieren,Schnittpunkte ermitte ® n können AG 3.5 Norma ® vektoren in R 2 aufste ®® en, verständig einsetzen und interpretieren können 1.4​Trigonometrie AG 4.1 Definitionen vonSinus,Cosinus und Tangens im rechtwink ® igenDreieck kennen und zurAuf ® ösung rechtwink ® igerDreiecke einsetzen können AG 4.2 Definitionen vonSinus undCosinus fürWinke ® größer a ® s 90° kennen und einsetzen können geübt geübt geübt geübt ​ ​​ Check ® iste​Grundkompetenzen 12 9. Lineare Funktion Gegeben istdieWertetabe ®® e für eine ree ®® e Funktion f. Aufgabenste ®® ung: Geben Siedie korrektenWerte für a undb an, sodassdie Funktion f ® inear ist! a = b = 10. Graph einerPo ® ynomfunktion Von einer Po ® ynomfunktion f sind im Interva ®® [‒6;4]fo ® gendeEigenschaftengegeben: – Dieg ® oba ® eMaximumste ®® eder Funktion f im Interva ®® [‒6;4]befindetsichbeix=‒6. – Die Funktion fbesitzt ander Ste ®® e‒3ein ® oka ® esMinimum,das auchdasg ® oba ® eMinimum im Interva ®® [‒6;4]ist. – Die Funktion fbesitzt ander Ste ®® e 2 eineℕu ®® ste ®® e,die auch eine ® oka ® eMaximumste ®® e ist. – Die Funktion f ändert im Interva ®® [‒6;4]zweima ® ihrMonotonieverha ® ten. Aufgabenste ®® ung: Skizzieren SiedenGraphen einermög ® ichen Funktion f im Interva ®® [‒6;4],diedieobenangege- benenEigenschaftenhat! 11. Zerfa ®® vonPa ®® adium-114 Der Zerfa ®® einerMenge von 24Grammdes radioaktiven Isotops Pa ®® adium-114 kanndurch eine Exponentia ® funktionmode ®® iertwerden,derenGraph inder fo ® gendenAbbi ® dungdargeste ®® t ist. Aufgabenste ®® ung: Geben Sie eine Funktionsg ® eichung fürdiesen Zerfa ®® vonPa ®® adium-114 an! ℕ(t) = x f(x) ‒3 1,75 ‒1 3,25 0 a 5 7,75 b 10 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 –8 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 0 t ℕ(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 8 12 16 20 24 28 0 ℕ 78 M Probematura 2 12. Sinusfunktionen DerGraph einerSinusfunktion f vonder Form f(x) = a·sin(b·x) ist inderuntenstehendenAbbi ® dung dargeste ®® t. Im Fo ® genden sindGraphen von Sinusfunktioneng,h, i und jgegeben,diedurchÄnderungder Parameter aundb ausdemGraphender Funktion fhervorgehen. Aufgabenste ®® ung: OrdnenSiedieÄnderungenderParameter aundbden entsprechendenGraphenderSinus- funktionen zu! 1 0 π –2 3 π –2 π x 2 g –2 g(x) 2 0 π –2 3 π –2 5 π –2 π 2 π 7 π –2 3 π x 2 4 h –2 –4 h(x) 3 0 π –2 3 π –2 π x 2 4 i –2 –4 i(x) 4 0 π –2 3 π –2 π x 2 4 j –2 –4 –6 6 j(x) 0 π –2 3 π –2 5 π –2 π 2 π 7 π –2 3 π x 2 f –2 f(x) A awird verdoppe ® tund bha ® biert. B awirdha ® biertund bwirdha ® biert. C awird verdreifachtund b verdoppe ® t. D awirdha ® biertund b verdreifacht. E awird verdoppe ® tund bwird verdoppe ® t. F awird verdreifachtund bwird verdreifacht. 79 234.​ Tennis spie ® en Larabehauptet,dass siemit einerWahrschein ® ichkeit von 0,8 ihrenBruder bei einem Tennisspie ® besiegt.Diebeiden spie ® en fünfma ® gegeneinander. Aufgabenste ®® ung: Kreuzen Sie jene(n) Term(e) an,mitdem (denen)mandieWahrschein ® ich- keitberechnen kann,dass Laramindestensdreima ® gegen ihrenBruder gewinnt! A 2​ 5 3 3 ·0,8 3 ·0,2 2  B 2​ 5 3 3 ·0,8 3 ·0,2 2 + 5·0,8 4 ·0,2 + 0,8 5  C 1 – 2​ 2​ 5 2 3 ·0,8 2 ·0,2 3 + 2​ 5 1 3 ·0,8 1 ·0,2 4 + 2​ 5 0 3 ·0,8 0 ·0,2 5 3  D 2​ 5 3 3 ·0,8 2 ·0,2 3  E 1 – 2​ 5 3 3 ·0,8 3 ·0,2 2  235.​ Fahrgäste ohne Fahrschein In einerK ® einstadtweißman ausErfahrung,dass inderU-Bahn 95%der Fahrgäste einen Fahrscheinbesitzen.Durch eine automatische Zäh ® ung ist bekannt,dass inderU-Bahn 98 Fahrgäste sitzen.Die Zufa ®® svariab ® eX sei dieAnzah ® der Personen,die keinen Fahrscheinbesitzen. Aufgabenste ®® ung: Berechnen SiedenErwartungswert fürdie Zufa ®® svariab ® eX! 236.​ Erwartungswertund Standardabweichung Die Zufa ®® svariab ® eX seibinomia ® vertei ® tmitden Parameternp undn (n > 1). Aufgabenste ®® ung: Ergänzen SiedenSatz so,dass einemathematisch korrekteAussage entsteht! Für (1) vonXgi ® t (2) . (1) (2) denErwartungswert T  T =n·(1 –p)  dieVarianz T  T =n·P(X = 0)·p  dieStandardabweichung T  T = 9 _______ ​​ n·p·(1 –p)  WS 3.3 Situationen erkennenundbeschreiben können, indenenmitder Binomia ® vertei ® ungmode ®® iertwerden kann 237.​ Binomia ® vertei ® ungbegründen Bei einemAufnahmetest an einerUniversitätwird einMu ® tip ® e-Choice-Test verwendet.Beidiesem Testgibt es insgesamt 20 Fragen.Bei jeder Frage gibt es fünfAntwortmög ® ichkeiten,wobei eine richtig ist.Unterder Annahme,dass eineKandidatindie 20 Fragen zufä ®® ig ankreuzt,bezeichnet die Zufa ®® svariab ® eXdieAnzah ® der richtigge ® östen Fragen. Aufgabenste ®® ung: Begründen Sie,dassdie Zufa ®® svariab ® eXbinomia ® vertei ® t ist! Arbeitenmitder Binomia ® vertei ® ung in anwendungsorientierten Bereichen WS 3.2 Erwartungswert binomia ® vertei ® ter Zufa ®® sgrößenberechnen WS 3.2 ErwartungswertundStan- dardabweichung binomia ® vertei ® ter Zufa ®® sgrößenberechnen WS 3.2 Binomia ® vertei ® ung begründen WS 3.3 86 4 Wahrscheinlichkeitund Statistik 253.​ VireninfizierteEmai ® s In einemdeutschenℕachrichtenmagazin erschiendie erste untereAbbi ® dung,diedenAntei ® viren- infizierterEmai ® s in ausgewäh ® ten Jahren zwischen 1999und 2013darste ®® t.Mangewinntden Eindruck,dassdieserAntei ® entweder starkgesunken ist (wennmannurdieHöhederBa ® ken betrachtet)oder sichnicht veränderthat (wei ® es sich immernur um ein einzigesB ® atthande ® t,das abgehoben ist). InWirk ® ichkeit istderAntei ® virenverseuchterEmai ® s auf ca.50%gestiegen (siehe diedarauf fo ® gendeAbbi ® dung). Aufgabenste ®® ung: a) Bestimmen Siedie exaktenprozentue ®® enAntei ® eder vireninfiziertenEmai ® s inden Jahren 1999, 2000,2001,2004,2008und 2013und tragen Sie sie indie fo ® gende Tabe ®® e ein! Jahr 1999 2000 2001 2004 2008 2013 prozentue ®® er Antei ® (in%) Bestimmen SiedenMedian unddas arithmetischeMitte ® derprozentue ®® enAntei ® eder viren- infiziertenEmai ® s! b) Erk ® ären Sie,wie es inderoberenGraphikge ® ingt,einenderart fa ® schenEindruckhervorzurufen! Geben Sie jewei ® s einArgument an,das fürdieVerwendungdesMediansbzw.des arithmetischen Mitte ® s a ® s „Durchschnittswert“derprozentue ®® enAntei ® e spricht! c) DieuntereAbbi ® dung ® egtnahe,dassderprozentue ®® eAntei ® virenverseuchterEmai ® smitBeginn im Jahr 2001 exponentie ®® steigt. Verwenden SiedieDaten ausden Jahren 2008 und 2013,um ein exponentie ®® esWachstumsgesetz der Formℕ(t) =ℕ 0 ·e λ ·t aufzuste ®® en (ℕ(t)…prozentue ®® erAntei ® nach t Jahren, ℕ 0 …prozentue ®® erAntei ® im Jahr 2001, λ …Wachstumskonstante, t… Zeit in Jahren)! BerechnenSie, inwe ® chem Jahr sichderprozentue ®® eAntei ® nachdiesemMode ®® verdreifachthat! BöseBriefe Anteil vireninfizierterE-Mails VorhersagederAntiviren-FirmaMessage Labs @ @ @ @   1999 2000 1 von 1400 1 von 700 1 von 300 1 von 100 1 von 10 1 von 2 2001 2004 2008 2013 2000 2005 2010 2015 1995 10% 20% 30% 40% 50% 0% 98 5 Teil-2-Aufgaben 1.1​ Grundbegriffe​der​A ® gebra AG 1.1 Wissenüberdie Zah ® enmengen ℕ , ℤ , ℚ , R , ℂ verständig einsetzen können 1.​ Mengen Gegeben istdieMenge J = {x *ℤ​†​ 10 < x < 13}. Aufgabenste ®® ung: Kreuzen Siediebeiden zutreffendenAussagen an! A DieMenge enthä ® t vier ree ®® e Zah ® en.  B DieMenge enthä ® t zwei komp ® exe Zah ® en.  C DieMenge enthä ® t vierganze Zah ® en.  D Jede Zah ® derMenge ist einenatür ® iche Zah ® .  E DieMenge enthä ® tunend ® ich vie ® e ree ®® e Zah ® en.  2.​ Rationa ® e Zah ® en Gegeben sind verschiedene Zah ® en. Aufgabenste ®® ung: Kreuzen Siediepositive(n) rationa ® e(n) Zah ® (en) an! A  B  C  D  E  9 ___ ​ 6,25 7, ˙ 1 1 _​ 3 9 __ ​ 21 1 _​ 2 _​ 2 ‒   9 _ ​ 4 AG 1.1 Wissen über Zah ® enmengen einsetzen Wissenüber Zah ® enmengen einsetzen AG 1.1 ​ 1​ A ® gebra​und​Geometrie 16 179 Arbeitsheft Maturatraining Im Lösungswege Arbeitsheft 8 befinden sich zwei Probe-Maturen . 1 zwei Test ® äufe Die Typ-1- und Typ-2-Aufgaben sind genauso geste ®® t, wie bei der Reifeprüfung. 1 mit Lösungen im Anhang Zu Beginn des Maturatrainings sind a ®® e 73 Grundkompetenzen aufge ® istet. 1 Übersicht erha ® ten Zu jeder Grundkompetenz gibt es eine Samm ® ung von gestaffe ® ten Aufgaben , die auf Tei ® kompetenzen eingehen. 1 Tei ® kompetenzen erarbeiten Ein Kapite ® mit Typ-2-Aufgaben sch ® ießt das Maturatraining ab. 1 weiteres Materia ® zum Üben A ®® e Lösungen sind im Anhang. 1 ® eicht gemachtes Überprüfen Wie man an die einze ® nen Aufgabenformate herangehen kann, wird im ersten Kapite ® gezeigt. 1 p ® anvo ®® es Vorgehen hi ® ft Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv