Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

235 10.1 Änderungsmaße AN 1.1 Abso ® uteund re ® ative (prozentue ®® e)Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können 677. In einer Stadtgab es im Jahr 2011E 0 Einbrüche. Im Jahr 2016waren esE 5 Einbrüche. Fo ® gender Zusammenhang istbekannt: E 5 –E 0 _​ E 0 = 0,1252. Kreuzedie jedenfa ®® s zutreffende(n)Aussage(n) an. A Die re ® ativeÄnderungderAnzah ® der Einbrüche von 2011 auf 2016 ist 0,1252.  B Die Zah ® der Einbrüchehat von 2011 auf 2016um 12,52% zugenommen.  C Die abso ® uteÄnderungderAnzah ® der Einbrüche von 2011 auf 2016 istpositiv.  D Diemitt ® ereÄnderungsratederAnzah ® derEinbrüche von 2011 auf 2016 istpositiv.  E DieAnzah ® der Einbrüchehat von 2011bis 2016 jähr ® ich zugenommen.  678. Die Funktion Zbeschreibtdie Zugriffe auf einYoutube-Video inAbhängigkeit vonder Zeit t (in Sekunden). Interpretiere für t 1 < t 2 denAusdruck Z 2​ t 2 3 – Z 2​ t 1 3 __​ Z 2​ t 1 3 imgegebenenKontext. 679. Im Jahr 2013gab es inWien u standesamt ® icheHochzeiten. Im Jahr 2016gab es inWien v standesamt ® icheHochzeiten. Ergänzedie LückendurchAnkreuzen so,dass einemathematisch korrekteAussage entsteht. DerAusdruck (1) beschreibtdie abso ® uteÄnderungder standesamt ® ichenHochzeiten inWien von 2013 auf 2016, derAusdruck (2) beschreibtdiedurchschnitt ® icheÄnderungderHochzeiten von 2013 auf 2016pro Jahr. (1) (2) v –u  v –u _​ 3  v _​ u  v –u _​ 2  u – v _​ 3  u – v _​ 3  680. EinComputer kostet im Jänner 750€.DreiMonate später kostetdasGerätnurmehr 535€. Berechnedie re ® ativeÄnderungdes PreisesdesComputers von JännerbisApri ® und interpretieredasErgebnis imgegebenenKontext. 681. Gegeben istderGraph einer Funktion f in [0; 9]. Berechnedie abso ® ute unddie re ® ativeÄnderung von f in [0; 9].A ®® ebenötigtenWerte sindganzzah ® ig und können ausdemGraphen abge ® esenwerden. abso ® uteÄnderung: re ® ativeÄnderung: AN 1.1 AN 1.1 AN 1.1 AN 1.1 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 0 f AN 1.1 196 Maturavorbereitung:AlgebraundGeometrie 8 Vernetzung Vernetzung –Typ-2-Aufgaben 577. Ampe ® an ® age DamitAmpe ® n inderMitte einerKreuzung über a ®® enVerkehrstei ® nehmern schweben können, müssen siemitSei ® en andenGebäuden,die anden EckenderKreuzung stehen,befestigtwerden. DieKräfte,denendie Sei ® edabei standha ® ten müssen, sindum einVie ® facheshöher a ® sdie GewichtskraftderAmpe ® ,we ® chedieAmpe ® aufgrund ihrerMasse senkrechtnachunten zieht. Die fo ® gendeAbbi ® dung zeigt eineAmpe ® ,die an ihremAufhängepunktAmit zweiSei ® en befestigtwurde.DieKräfte ​ _ ​ À​ F S und ​ _ ​ À​ F S ’ ,die ent ® angder Sei ® e aufdieAmpe ® wirken sowieder Winke ®α zwischen ​ _ ​ À​ F S undderVertika ® en, sind eingezeichnet. a) DerVektor ​ _ ​ À​ F S entstehtdurchAddition einesVektors ​ _ ​ À​ F B ,we ® cher vom PunktA aus horizonta ® ,para ®® e ® zumBoden ver ® äuft,unddesGegenvektorsderGewichtskraft,we ® che aufdieAmpe ® wirkt.ZeichnedenVektorderGewichtskraft ​ _ ​ À​ F G indieobigeAbbi ® dung vom AufhängepunktA aus ein. Gib eine Forme ® fürdenBetragdesVektors ​ _ ​ À​ F S inAbhängigkeit vomWinke ®α unddem BetragderGewichtskraft ​ _ ​ À​ F G an.Begründemitdieser Forme ® ,dass esnichtmög ® ich ist,die Ampe ® so aufzuhängen,dass ​ _ ​ À​ F S norma ® auf ​ _ ​ À​ F G steht. b) DieStah ® sei ® e,mitdenendieAmpe ® aufgehängt ist, dehnen sich imSommer aufgrundderhöherenTemperatur aus.Dadurchwerdendie Sei ® e ® ängerunddieAmpe ® n hängen tiefer (siehedienebenstehendeübertriebene Abbi ® dung). DieDifferenz zwischender a ® ten LängedesStah ® sei ® s ® 1 und seinerneuen Länge ® 2 istdabei einVie ® faches cdes Produkts ausder a ® ten Länge ® 1 undderDifferenz zwischendenbeiden Temperaturen T 1 und T 2 . Schreibediesen Zusammenhang a ® s Forme ® . Bei einerbestimmtenAmpe ® beträgtdieursprüng ® iche Länge ® 1 des Sei ® s 12m,derAbstandd zurHauswand ist 11,8m unddasVie ® fache c ist eineMateria ® konstante,die für Stah ® denWert 11,7·10 ‒6 K ‒1 hat (KKe ® vin). Berechne,umwievie ® Meter eineAmpe ® tieferhängt,wenndie Temperatur von 2°C auf 35°C steigt. α A _ À F s _ À F s ’ ® 1 ® 2 d 268 Chemie Technik Bio ® ogie Geo ® ogie 12 Maturavorbereitung: Vernetzungsaufgaben – Typ 2 Mathematik 180 8 Maturavorbereitung: A ® gebra und Geometrie G ® eichungen,Ung ® eichungenund G ® eichungssysteme ℂ P 17 3 ℕ ℤ ℚ R 1 8 25 0 – ​ 7 – ​ 5,348762… – ​ 1,3 – ​ 4,18 23,29 – ​ 4 e i 2+3i – ​ 239 – ​ 71 2 – ​ 5 π 17–5 – ​ 7–3 3–4 2,353 _ Grundbegriffe derA ® gebra Vektoren Trigonometrie ​ _​ À​ a· ​ _ ​ À​ b = 2 ​ a x a y a z 3 · 2 ​ b x b y b z 3 = a x b x + a y b y + a z b z y = 2​ 2 3 3 + λ​ · 2​ 5 2 3 AG 1.1 –AG 4.2 + 3a 4a 2a 2b b + – – x Äquiva ® enz Gleichungssysteme I 4x + 9y + 5z = 13 II ‒5x + 6y + 3z = 17 III 6x + 3y – 10z = 23 I 4x + 9y + 5z = 13 II  ‒17x + 23z = ‒29 III  ‒14x + 35z = ‒56 I 4x + 9y + 5z = 13 II  ‒17x + 23z = ‒29 III  ‒273z = ‒546  z = ‒2 Lösbarkeit g g g = h h h ≠,<,>,≤ x 2 +5 –2x x 2 +5 (2x+5)x 2 +5 x 2 ·5x (x+3) x y 1 2 3 4 1 2 3 4 0 ​ a+b a b x y 0 A A 1 B 1 B C C 1 15° E C D B A y 1 0 M 1 –1 –1 x α cos( α ) sin( α ) P r = 1 α β γ Gegenkathete zuWinkel β Hypotenuse A B C Ankathete zu β 181 Grund- kompe- tenzen Maturavorbereitung:AlgebraundGeometrie | Grundkompetenzen A ® gebra und Geometrie GrundbegriffederA ® gebra AG 1.1 Wissen überdie Zah ® enmengen ℕ , ℤ , ℚ , R , ℂ verständig einsetzen können AG 1.2 Wissen über a ® gebraischeBegriffe angemessen einsetzen können:Variab ® e, Terme, Forme ® n, (Un-)G ® eichungen,G ® eichungssysteme;Äquiva ® enz,Umformungen, Lösbarkeit (Un-)G ® eichungenundG ® eichungssysteme AG 2.1 Einfache Terme und Forme ® n aufste ®® en,umformenund imKontextdeuten können AG 2.2 LineareG ® eichungen aufste ®® en, interpretieren,umformen/ ® ösenunddie Lösung imKontext deuten können AG 2.3 QuadratischeG ® eichungen in einerVariab ® en umformen/ ® ösen,über Lösungsfä ®® eBescheid wissen, Lösungenund Lösungsfä ®® e (auchgeometrisch)deuten können AG 2.4 LineareUng ® eichungen aufste ®® en, interpretieren,umformen/ ® ösen, Lösungen (auch geometrisch)deuten können AG 2.5 LineareG ® eichungssysteme in zweiVariab ® en aufste ®® en, interpretieren,umformen/ ® ösen, über Lösungsfä ®® eBescheidwissen, Lösungen und Lösungsfä ®® e (auchgeometrisch)deuten können Vektoren AG 3.1 Vektoren a ® s Zah ® entupe ® verständig einsetzen und imKontextdeuten können AG 3.2 Vektorengeometrisch (a ® sPunktebzw.Pfei ® e)deuten und verständig einsetzen können AG 3.3 DefinitionderRechenoperationenmitVektoren (Addition,Mu ® tip ® ikationmit einemSka ® ar, Ska ® armu ® tip ® ikation) kennen,Rechenoperationen verständig einsetzenund (auch geometrisch)deuten können AG 3.4 Geradendurch (Parameter-)G ® eichungen in R 2 und R 3 angeben können;Geraden- g ® eichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischenGeraden und zwischen Punkt undGerade) ana ® ysieren,Schnittpunkte ermitte ® n können AG 3.5 Norma ® vektoren in R 2 aufste ®® en, verständig einsetzenund interpretieren können Trigonometrie AG 4.1 Definitionen vonSinus,Cosinus und Tangens im rechtwink ® igenDreieck kennen und zur Auf ® ösung rechtwink ® igerDreiecke einsetzen können AG 4.2 Definitionen vonSinus undCosinus fürWinke ® größer a ® s 90° kennen und einsetzen können 178 zur Matura mit Lösungswege Liebe Schü ® erin, lieber Schüler, auf dieser Doppelseite wird gezeigt, wie das Mathematik-Lehrwerk Lösungswege dich in der achten Klasse auf die Matura vorbereiten kann, und zwar im –– Schu ® buch –– Arbeitsheft –– Maturatraining . Schu ® buch Zu den vier Bereichen – A ® gebra und Geometrie – Funktiona ® e Abhängigkeiten – Ana ® ysis – Wahrschein ® ichkeit und Statistik gibt es Kapite ® zur Matura-Vorbereitung. 1 a ®® e Inha ® te von K ® asse 5 bis 8 Zu Beginn jedes Kapite ® s werden a ®® e Grundkompetenzen des Bereiches ge ® istet. 1 a ®® es auf einen B ® ick Zu jeder Grundkompetenz gibt es eine Samm ® ung von repräsentativen Aufgaben. 1 a ®® es im Matura-Format Am Ende jedes Bereichs werden passende Typ-2-Aufgaben angeboten. 1 vernetzte Inha ® te Das Kapite ® 12 bietet eine umfangreiche Samm ® ung von Typ-2-Aufgaben. 1 vie ® Materia ® zum Üben  Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv