Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke Merke 17 kompe- tenzen 1.3 Weitere Integrationsrege ® n Lernzie ® e: º º Die Substitutionsmethode anwenden können º º Die partie ®® e Integration anwenden können In Lösungswege 7 wurden die Produktrege ® und die Kettenrege ® erarbeitet. Ähn ® iche Rege ® n benötigt man auch, um komp ® exere Integra ® e zu berechnen. Die Produktrege ® und die Kettenrege ® Produktrege ® : f(x) = g(x) · h(x) w f’(x) = g’(x) · h(x) + g(x) · h’(x) Kettenrege ® : f(x) = g(h(x)) w f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) („äußere Ab ® eitung ma ® innere Ab ® eitung“) 39. Berechne die erste Ab ® eitung von f mit der Produktrege ® . a) f(x) = (x – 5) · (2 x + 3) c) f(x) = (x 2 – 3) · cos(x) b) f(x) = (2 x + 3) · (1 – 5 x) d) f(x) = (3 x – 5) · sin(x) 40. Berechne die erste Ab ® eitung von f mit der Kettenrege ® . a) f(x) = (3x 2 – 3) 12 c) f(x) = cos(3x 2 – 5 x) b) f(x) = (2 – 6 x 2 ) 10 d) f(x) = sin(2 x 2 – 5) Substitutionsmethode Vie ® e Integra ® e ® assen sich durch die bekannten Rege ® n nicht berechnen. Oft hi ® ft eine geeigne- te Substitution (Ersetzung). Den Beweis der Substitutionsmethode findet man auf Seite 280. Die Substitutionsmethode Ist f stetig und ist g differenzierbar, dann ist fo ® gende Substitution mög ® ich: x = g(u) bzw. dx = g’(u) du w :    f(x) dx = :    f(g(u)) · g’(u) du 41. Berechne durch Substitution. :    (7x – 12) 12 dx Um „einfacher“ integrieren zu können, setzt man u = 7x – 12. Um auch dx zu substituieren, wird fo ® gender Trick angewendet: u’ =   du _ dx = 7 w dx =   1 _ 7 · du Durch Einsetzen erhä ® t man: :    (7x – 12) 12 dx = :    u 12 ·   1 _ 7 du =   1 _ 7 ·   u 13 _  13 + c Setzt man nun wieder u = 7x – 12, erhä ® t man :    (7x – 12) 12 dx =   (7x – 12) 13 __ 91  + c 42. Berechne durch Substitution. a) :    (3 x – 1) 8 dx d) :    (4 x – 8) 22 dx g) :    1 _  1 – 4 x  dx b) :    (2 – 5 x) 19 dx e) :    (1 – 12 x) 23 dx h) :    1 _  3 – 5 x dx c) :    (3 – x) 5 dx f) :    1 _  2 x – 4 dx i) :    1 __  2 2 x – 3  3 12 dx vorwissen muster Ó Arbeitsb ® att Substitution i2k5xg Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv