Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

164 Schließende und beurteilende Statistik 7 Prob ® em 1 Prob ® em 2 1) Nu ®® hypothese ​H​ 0 ​ fest ® egen H 0 beschreibt den Wert der zu beurtei ® enden Wahrschein ® ichkeit p 0 . H 0 : p 0 = 0,15 H 0 : p 0 = 0,96 2) A ® ternativhypothese ​H​ 1 ​ formu ® ieren H 1 beschreibt die Vermutung bezüg ® ich H 0 . In diesem Kontext wi ®® der Kunde überprüfen, ob die tatsäch ® iche Wahrschein ® ichkeit p für kaputte Eier größer a ® s der angegebene Wert p 0 ist: H 1 : p > 0,15 ( rechtsseitiger Test ) In diesem Beispie ® wi ®® man überprüfen, ob die tatsäch ® iche Wahrschein ® ichkeit p k ® einer a ® s der angegebene Wert p 0 ist: H 1 : p < 0,96 ( ® inksseitiger Test ) 3) Maxima ® e Irrtumswahrschein ® ichkeit α fest ® egen Die Irrtumswahrschein ® ichkeit ist die Wahrschein ® ichkeit, dass man H 1 annimmt und H 0 nicht annimmt (verwirft), obwoh ® H 0 richtig ist. Sie wird vereinbart. α = 0,05 α = 0,01 4) Annahmebereich (kritische Werte) für ​H​ 1 ​ bestimmen Der Annahmebereich ist jener Wertebereich der Zufa ®® svariab ® en X, bei dessen Eintreten in der Stichprobe die A ® ternativhypothese H 1 angenommen wird. 20 0,1 6 10 14 18 22 4 8 12 16 20 24 26 28 P(x º 18) = 0,048 Annahmebereich Man geht von H 0 aus und bezeichnet mit X die Anzah ® der zerbrochenen Eier in der Stichprobe. X ist binomia ® vertei ® t mit n = 80 und p 0 = 0,15. Jene Werte k von X für die gi ® t P(X º k) ª 0,05 umfassen den Annahmebereich. Der Annahme- bereich von H 1 ® iegt a ® so am rechten Rand der Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung (rechtsseitiger Test). Durch Ausprobieren (mit Techno ® ogieeinsatz) erhä ® t man: P(X º 17) = 0,0837. k = 17 fä ®® t a ® so nicht in den Annahmebereich. P(X º 18) = 0,048 (rote F ® äche) k = 18 fä ®® t in den Annahmebereich. Ebenso fa ®® en auch a ®® e k > 18 in den Annahmebereich. Dass die Anzah ® der kaputten Eier in der Stich- probe größer oder g ® eich 18 ist, ist a ® so unter der Angabe des Lieferanten (H 0  ) durchaus mög ® ich, a ®® erdings beträgt die Wahrschein ® ichkeit dafür weniger a ® s die vereinbarte Irrtumswahrschein® ichkeit α = 5%. In diesem Fa ®® müsste man H 1 annehmen und H 0 verwerfen und würde sich mit einer Wahrschein® ichkeit von weniger a ® s α = 5% irren. Der Annahmebereich ist a ® so X º 18. 18 wird a ® s kritischer Wert bezeichnet. 935 930 945 955 965 975 985 940 950 960 970 980 990 P(X ª 945,58) = 0,01 Annahmebereich Man geht von H 0 aus und bezeichnet mit X die Anzah ® der zufriedenen Kunden in der Stich- probe. X ist binomia ® vertei ® t, kann aber durch eine Norma ® vertei ® ung mit μ = 1 000 · 0,96 = 960 und σ  = ​ 9 _________ 1 000 · 0,96 · 0,04​≈ 6,20 angenähert werden. Jene Werte k von X für die gi ® t P(X ª k) ª 0,01 umfassen den Annahmebereich. Der Annahme­ bereich von H 1 ® iegt a ® so am ® inken Rand der Dichtefunktion ( ® inksseitiger Test). Die Berechnung (mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® ) ergibt: P(X ª 945,58) ª 0,01 (rote F ® äche). D. h. a ®® e k ª 945 fa ®® en in den Annahmebereich. Dass die Befragung weniger a ® s 946 zufriedene Kunden ergibt, ist unter der Angabe des Lieferanten durchaus mög ® ich, a ®® erdings sehr unwahrschein ® ich. Sind bei der Befragung a ® so weniger a ® s 946 Kunden zufrieden, so kann man H 1 annehmen und irrt sich nur mit einer Wahrschein ® ichkeit von α = 1%. Der Annahmebereich ist a ® so X ª 945. 945 wird a ® s kritischer Wert dieses Tests bezeichnet. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv