Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

161 Schließende und beurteilende Statistik |  Schließende Statistik Die Sicherheit eines gegebenen Konfidenzinterva ®® s berechnen 473. In einer Zeitschrift wird der Antei ® der Personen, die mit den Oppositionsparteien zufrieden sind, mit einem Konfidenzinterva ®® von [0,80; 0,84] angegeben. Die Behauptung stützt sich auf eine Befragung von 200 Personen. Berechne die Sicherheit dieser Behauptung. Da die Mitte des Konfidenzinterva ®® s der re ® ativen Häufigkeit in der Stichprobe entspricht, gi ® t h = 0,82. Da der Term z · ​ 9 ____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​aus der Forme ® zur Berechnung des Konfidenzinterva ®® s der ha ® ben Breite des Konfidenzinterva ®® s entspricht, gi ® t: 0,02 = z · ​ 9 _____ ​  0,82 · 0,18 __ 200  ​​  w  z ≈ 0,74  w Φ( 0,74) = ​  γ + 1 _ 2  ​  w γ = 2 · Φ( 0,74) – 1 = 2 · 0,7704 – 1 = 0,54 Die Sicherheit beträgt ca. 54%. 474. Bei einer Befragung von n Personen wurde das Konfidenzinterva ®® [p 1  ; p 2  ] ermitte ® t. Berechne die Sicherheit des Konfidenzinterva ®® s. a) n = 2 000; p 1 = 0,33; p 2 = 0,37 d) n = 2 000; p 1 = 0,77; p 2 = 0,83 b) n = 2 000; p 1 = 0,31; p 2 = 0,33 e) n = 500; p 1 = 0,02; p 2 = 0,08 c) n = 1 000; p 1 = 0,77; p 2 = 0,83 f) n = 50; p 1 = 0,08; p 2 = 0,32 475. Bei einer Befragung von 1 500 Personen gaben 21% an, die Partei A zu wäh ® en. Aufgrund der Befragung behauptet ein Meinungsforschungsinstitut, dass der Stimmenantei ® der Partei A zwischen 19% und 23% ® iegen wird. Bestimme den Wert der Sicherheit γ , mit der diese Behauptung aufgeste ®® t wurde. 476. In einer Stichprobe von 500 Stück einer Produktion wurden 23 defekte Produkte entdeckt. Bestimme den Wert der Sicherheit γ , bei dem das Konfidenzinterva ®® eine Breite von 0,01 hat. Den Stichprobenumfang für ein Konfidenzinterva ®® ermitte ® n P ® ant man eine Untersuchung mit Hi ® fe einer Stichprobe, so ist es von Vortei ® den Stich­ probenumfang im Vorfe ® d zu ermitte ® n, da der Stichprobenumfang maßgeb ® ich die Breite des Konfidenzinterva ®® s der Abschätzung und die Kosten der Untersuchung bestimmt. Wi ®® man zum Beispie ® die unbekannte Wahrschein ® ichkeit p in einer Grundgesamtheit mit Hi ® fe eines Konfidenzinterva ®® s [h – ε ; h + ε ] und mit der Sicherheit γ abschätzen, so kann man den geeigneten Stichprobenumfang mit Hi ® fe der Forme ® für das Konfidenzinterva ®® bestimmen. Aus ε = z · ​ 9 ____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​kann man n berechnen: n = ​  h · (1 – h) · ​z​ 2 ​ __  ​ ε ​ 2 ​ ​ . Der Wert für z ergibt sich aus der gewünschten Sicherheit: z ≈ 1,96 für γ = 0,95 und z ≈ 2,575 für γ = 0,99. Der Wert für die ha ® be Konfidenzinterva ®® breite ε kann ebenfa ®® s frei gewäh ® t werden. Da man noch keine Stichprobe gezogen hat (da man deren Umfang n erst bestimmen wi ®® ) kann man für h die re ® ative Häufigkeit früherer Umfragen wäh ® en, wenn man mit keiner großen Abweichung rechnet. So ®® te für h noch kein Erfahrungswert existieren, so wäh ® t man h = 0,5, da man dadurch n sicherheitsha ® ber mög ® ichst groß macht. Ó Techno ® ogie An ® eitung Sicherheit eines Konfidenz- interva ®® s berechnen zm3vw7 muster Ó Arbeitsb ® att Sicherheit eines Konfidenz- interva ®® s berechnen 2fe854 WS 4.1 WS 4.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv