Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 157 Schließende und beurteilende Statistik |  Schließende Statistik A ® so ist P(189,54 ª X ª 240,46) = 0,95. ​p​ min ​= ​  189,54 _ 1 000  ​≈ 0,1895 und ​p​ max ​= ​  240,46 _ 1 000  ​≈ 0,2404 Das gesuchte 95%-Konfidenzinterva ®® ® autet daher: [18,9%; 24,1%]. Beachte: Die Interva ®® grenzen werden nicht mathematisch gerundet. Das Interva ®® wird zur Sicherheit an beiden Grenzen immer vergrößert. Mit Hi ® fe der Vereinfachungen kann man eine Forme ® zur Berechnung des γ -Konfidenz­ interva ®® s her ® eiten (siehe Anhang Beweise, Seite 281). Forme ® zur Berechnung des (approximierten) γ -Konfidenzinterva ®® s γ -Konfidenzinterva ®® für p = ​ 4 h – z · ​ 9 ____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​ ; h + z · ​ 9 ____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​ 5 ​ ε = z · ​ 9 ____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​… Abweichung von h; die ha ® be Interva ®® breite p … unbekannte (abzuschätzende) Wahrschein ® ichkeit für das Auftreten eines Merkma ® s in der Grundgesamtheit h … re ® ative Häufigkeit des Merkma ® s in der Stichprobe n … Umfang der Stichprobe Φ (z) = ​  γ + 1 _ 2  ​ z ≈ 1,96 für γ = 0,95 z ≈ 2,575 für γ = 0,99 γ … Sicherheit oder Vertrauensniveau des Konfidenzinterva ®® s α = 1 – γ … Irrtumswahrschein ® ichkeit 460. Bei einer Kundenbefragung eines Te ® efonanbieters gaben 350 von 500 Kunden an, mit dem Service des Anbieters sehr zufrieden zu sein. Bestimme ein 0,99-Konfidenzinterva ®® für den Antei ® der sehr zufriedenen Kunden dieses Anbieters a) mit Hi ® fe der Standard-Norma ® vertei ® ung. b) mit Hi ® fe der obigen Forme ® . a) h = ​  350 _ 500 ​= 0,7. Es wird eine Norma ® vertei ® ung mit μ = 500 · 0,7 = 350 und σ = ​ 9 _______ 500 · 0,7· 0,3​= 10,25 angenommen. P(350 – k ª X ª 350 + k) = 0,99  w  F(350 + k) = ​  γ + 1 _ 2  ​= ​  0,99 + 1 _ 2  ​= 0,995 (wobei F die Vertei ® ungsfunktion der entsprechenden Norma ® vertei ® ung ist). F(350 + k) = Φ​ 2  ​  ( 350 + k) – 350 __ 10,25  ​  3 ​= 0,995 = Φ( 2,575)  w  ​  (350 + k) – 350 __ 10,25  ​= 2,575  w  k = 26,39 Man kann k ebenso mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® berechnen. A ® so ist P(323,61 ª X ª 376,39) = 0,99. ​p​ min ​= ​  323,61 _ 500  ​≈ 0,647 und ​p​ max ​= ​  376,39 _ 500  ​≈ 0,752 Das gesuchte 99%-Konfidenzinterva ®® ® autet daher: [64%; 76%] b) γ -Konfidenzinterva ®® für p = ​ 4 h – z · ​ 9 ____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​ ; h + z · ​ 9 ____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​ 5 ​= = ​ 4  0,7 – 2,575 · ​ 9 ______ ​  0,7· (1 – 0,7) __ 500  ​ ​ ; 0,7 + 2,575 · ​ 9 ______ ​  0,7· (1 – 0,7) __ 500  ​ ​ 5 ​≈ [64%; 76%] 461. Bei einer Befragung von 1 000 Personen der Wah ® berechtigten zeigen 215 Personen eine Präferenz für die Partei A. Berechne das 0,99-Konfidenzinterva ®® der Präferenz für Partei A unter a ®® en Wah ® berechtigten a) mit Hi ® fe der Standard-Norma ® vertei ® ung. b) mit Hi ® fe der Forme ® . muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv