Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

156 Schließende und beurteilende Statistik 7 Berechnung des Konfidenzinterva ®® s Um das Konfidenzinterva ®® ohne großen Rechenaufwand zu ermitte ® n, nimmt man zwei Vereinfachungen vor. 1) Man nimmt an, dass die Zufa ®® svariab ® e X binomia ® vertei ® t ist, und nähert die Binomia ® vertei ® ung durch eine Norma ® vertei ® ung an. 2) Zu jedem mög ® ichen Wert p der Grundgesamtheit gibt es einen Schätzbereich für die re ® ative Häufigkeit h in der Stichprobe, we ® chen man mit der entsprechenden Norma ® vertei ® ung mit den jewei ® igen Parametern μ = n · p und σ = 9 _______ n · p · (1 – p) berechnen kann. Die zweite Vereinfachung besteht darin, dass man diesen (verschie- denen) Norma ® vertei ® ungen dense ® ben Parameter σ = 9 _______ n · h · (1 – h)zuweist. h ist dabei die bekannte re ® ative Häufigkeit der Stichprobe. Das Konfidenzinterva ®® wird nun mit den genannten Vereinfachungen in einem Beispie ® berechnet: Bei einer Befragung von 1 000 Personen zeigen 215 Personen eine Präferenz für die Partei A. Man wi ®® nun von der bekannten re ® ativen Häufigkeit h =   215 _  1 000 = 0,215 der Stichprobe auf die unbekannte Wahrschein ® ichkeit p (= re ® ativer Antei ® ) für die Präferenz von A in der Grundge- samtheit sch ® ießen. Die Sicherheit so ®® 0,95 betragen. Das gesuchte Konfidenzinterva ®® ® autet [p min ; p max ]. Man betrachtet die Graphen der Dichtefunktonen (1. Vereinfachung) der beiden (noch unbe- kannten) Norma ® vertei ® ungen N min (n · p min ; 9 _______ n · h · (1 – h)) und N max (n · p max ; 9 _______ n · h · (1 – h)) in der nebenstehenden Abbi ® dung. In der Mitte dieser Dichtefunktionen ist der Graph der (bekannten) Dichtefunktion N(n·h; 9 _______ n·h· (1 – h)) dargeste ®® t. Die Graphen a ®® er drei Dichtefunktionen haben verschiedene Lagen, aber die g ® eiche, symmetrische Form, da sie Norma ® vertei ® ungen mit demse ® ben Parameter σ darste ®® en (Vereinfachung 2). Dadurch muss das gesuchte Konfidenzinterva ®® [p min ; p max ] symmetrisch zu p = h ® iegen. Aus den Definitionen des Konfidenzinterva ®® s und der Symmetrie der Graphen fo ® gt, dass die Graphen der beiden Dichtefunktionen von N min und N max so ® iegen müssen, dass die re ® ative Häufigkeit h den ® inken bzw. rechten Rand des jewei ® igen 95%-Schätzbereiches bi ® det. Aus Symmetriegründen muss der 95%-Schätzbereich der bekannten grünen Dichtefunktion mit dem Interva ®® [n · p min ; n · p max ] übereinstimmen. Da man h aus der Stichprobe kennt, kann man diesen Schätzbereich berechnen. Daraus kann man danach die Grenzen des Konfidenzinterva ®® s p min und p max bestimmen: Der grüne Graph entspricht der Norma ® vertei ® ung N(n · h; 9 _______ n · h · (1 – h)) = N(215; 12,99). P(215 – k ª X ª 215 + k) = 0,95 Daraus kann man den Wert für k mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® oder mit Hi ® fe der Standard-Norma ® vertei ® ung berechnen. F(215 + k) = Φ 2    ( 215 + k) – 215 __ 12,99    3 = 0,975 = Φ( 1,96) w   (215 + k) – 215 __  12,99  = 1,96 w k = 25,46 Ó Vertiefung Konfidenz- interva ®® ohne Verein- fachungen ermitte ® n ch453p 215 95% approximierte Glockenkurve für p min p min Glockenkurve für p = h p = h = 0,215 p = h approximierte Glockenkurve für p max p max 95% 95% 215 215 – k 215 + k 95% approximierte Glockenkurve für p min p min Glockenkurve für p = h p = h approximierte Glockenkurve für p max p max 95% p = h = 0,215 Ó Techno ® ogie An ® eitung symmetrisches Interva ®® bestimmen f8r2z3 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv