Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 152 Schließende und beurteilende Statistik 7 Schätzbereiche für die re ® ative Häufigkeit h in einer Stichprobe ermitte ® n Man weiß, dass der Frauenantei ® an der österreichischen Bevö ® kerung p = 51% beträgt. Wäh ® t man nun eine zufä ®® ige Stichprobe von 250 Personen, so ist die Anzah ® X der Frauen in dieser Stichprobe eine binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e mit den Parametern μ = n · p = 250 · 0,51 = 127,5 und σ  = ​ 9 ________ 250 · 0,51 · 0,49​≈ 7,90. Da σ > 3 ist, kann man die Binomia ® vertei ® ung durch eine Norma ® vertei ® ung N(127,5; 7,90) annähern. Wi ®® man nun ein Interva ®® um μ ermitte ® n, in dem zum Beispie ® mit der Wahrschein ® ichkeit γ  = 0,95 (= Sicherheit des Schätzbereiches ) die Anzah ® der Frauen in der Stichprobe ® iegt, so sucht man zunächst ein k, das fo ® gende G ® eichung erfü ®® t: P( μ – k ª X ª μ + k) = 0,95 Die Variab ® e k kann man mit Hi ® fe eines e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® s ermitte ® n. Man erhä ® t k = 15,48  w  P(112,02 ª X ª 142,98) = 0,95. Der entsprechende Bereich in der Dichtefunktion der Norma ® vertei ® ung ist in der nebenstehenden Abbi ® dung eingezeichnet. Beachte: Die Interva ®® grenzen werden nicht mathe­ matisch gerundet. Das Interva ®® wird zur Sicherheit an beiden Grenzen immer vergrößert. Die Anzah ® der Frauen ® iegt dann mit einer Wahrschein ® ichkeit von mindestens γ = 0,95 im Interva ®® [112; 143]. A ® s 0,95-Schätzbereich für die re ® ative Häufigkeit h in der Stichprobe erhä ® t man: ​  112 _ 250 ​ª h ª ​  143 _ 250 ​. Der γ -Schätzbereich von h für γ = 0,95 ist daher: [0,448; 0,572] = [44,8%; 57,2%]. Das bedeutet: Eine Stichprobe von 250 Personen aus Österreich wird mit 95%-iger Wahrschein ® ichkeit zwischen 44,8% und 57,2% Frauen entha ® ten. γ -Schätzbereich für die re ® ative Häufigkeit h in einer Stichprobe In einer Grundgesamtheit tritt ein Merkma ® mit der Wahrschein ® ichkeit p auf. Schätzt man nun die re ® ative Häufigkeit dieses Merkma ® s in einer Stichprobe vom Umfang n, so bezeichnet der γ -Schätzbereich ein symmetrisches Interva ®® um p, das die re ® ative Häufigkeit h mit der Wahrschein ® ichkeit γ enthä ® t. γ bezeichnet die Sicherheit des Schätzbereiches. Interpretation des Schätzbereiches Würde man vie ® e Stichproben vom Umfang n ziehen, so würde in ca. γ ·100% der Stichproben die re ® ative Häufigkeit des Merkma ® s in den Schätzbereich fa ®® en. Anmerkungen –– Für γ sind die Werte 0,95 und 0,99 üb ® ich. –– Es wird immer vorausgesetzt, dass in der Stichprobe die untersuchten Merkma ® e mit ähn ® icher Wahrschein ® ichkeit auftreten, wie in der Grundgesamtheit. In der Praxis ist die Auswah ® einer passenden Stichprobe eine große Herausforderung. Ó Techno ® ogie An ® eitung Schätzbereich bei Norma ® - vertei ® ung ermitte ® n 7c5ig3 x 100 110 120 130 140 150 f 95% bekanntes p in der Grundgesamtheit p = 0,51 0,448 0,572 0,95-Schätzbereich für h in der Stichporbe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv