Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

146 Normalverteilte Zufallsvariablen 6 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 434. A ® te Stufen Jahrhunderte a ® te Steinstufen sind in der Mitte mehr abgenutzt a ® s zu ihren Rändern hin. Eine Untersuchung an a ® ten Treppen hat ergeben, dass die Abnutzung näherungsweise einer Norma ® vertei ® ung unter ® iegt. Dabei bezeichnet die Zufa ®® svariab ® e X die Entfernung (in Zentimeter cm) vom Mitte ® punkt der Stufe. P(X = a) bezeichnet die Wahrschein ® ichkeit, dass jemand in der Entfernung a auf die Stufe tritt. Ein positiver Wert von a bezeichnet eine Entfernung, die vom Mitte ® punkt aus nach rechts gemessen wird und ein negativer Wert von a bezeichnet eine Entfer- nung, die vom Stufenmitte ® punkt aus nach ® inks gemessen wird. a) Eine Stufe ist 90 cm breit. Die Wahrschein ® ichkeit, dass man mehr a ® s 40 cm vom Stufenmitte ® punkt entfernt auf die Stufe tritt beträgt 0,5%. Bestimme einen symmetrischen Bereich um den Stufenmitte ® punkt, auf den 90% der Stufenbenutzer treten. b) Es gi ® t die Annahme, dass durch jeden Tritt auf die Stufe an dieser Ste ®® e 5 ·10 ‒4  mm vom Steinmateria ® der Stufe abgenutzt werden. Bestimme die Abnutzung der Stufe in einem 5 cm breiten symmetrischen Interva ®® um den Stufenmitte ® punkt, wenn angenommen wird, dass X norma ® vertei ® t ist, mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 8 cm und wenn die Stufe bereits 100 000-ma ® betreten worden ist. c) Die Ha ® bwertsbreite einer Funktion mit einem ® oka ® en Maximum ist die Differenz zwischen den beiden Argumentwerten, für die die Funktionswerte auf die Hä ® fte des Maximums abgesunken sind. Zeige, dass die Ha ® bwertsbreite der Dichtefunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung 2 · ​ 9 ____ 2  ® n (2)​beträgt. d) X ist eine norma ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e mit dem Erwartungswert 0 und der Standardab- weichung 1. Φ ist die Vertei ® ungsfunktion und φ ist die Dichtefunktion von X. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Φ (0,3) = 1 – Φ (0,7)  B Φ (0) = ​ :  ‒ • ​  0 ​ φ (x)​dx  C P(‒ 0,5 ª X ª 0,5) = Φ (0,5) – Φ (‒ 0,5)  D Φ (2) – Φ (1) = ​ :  1 ​  2 ​ Φ (x)​dx  E P(‒1 ª X ª 0) = 0,5 – Φ (‒1)  Typ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv