Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

145 Normalverteilte Zufallsvariablen |  Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 432. X ist eine binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e, die durch eine Norma ® vertei ® ung angenähert wird. Ihr Erwartungswert ist 900 und ihre Standardabweichung ist 20. Φ ist die Vertei ® ungsfunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung. Ordne die äquiva ® enten Ausdrücke einander zu. 433. In der Abbi ® dung sieht man den Graphen der Dichtefunktion φ einer standardnorma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en mit dem Erwar- tungswert 0 und der Standardabweichung 1. Ein Würfe ® wird 1 000-ma ® geworfen. X bezeichnet die Anzah ® der dabei auftretenden Würfe mit einer Augenzah ® größer a ® s 4. Veranschau ® iche in der Abbi ® dung den Wert von P(X º 311). Dichtefunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X f(x) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ · σ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​​ 2  ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ ​ 2 ​ ​ μ …Erwartungswert σ …Standardabweichung Die Schreibweise N( μ ; σ ) bezeichnet eine Norma ® vertei ® ung mit den Parametern μ und σ . Vertei ® ungsfunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en Ist f die Dichtefunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en, dann heißt F(x) = P(X ª x) die Vertei ® ungsfunktion der Zufa ®® svariab ® en X. Standard-Norma ® vertei ® ung φ (z) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​​z​ 2 ​ ​… Dichtefunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung N(0; 1) Φ (z)…Vertei ® ungsfunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung Transformationsg ® eichung: z = ​  x – μ _ σ  ​ Approximation der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung Eine Binomia ® vertei ® ung B(n; p) mit den Parametern n und p nähert sich mit steigendem n der Norma ® vertei ® ung N( μ ; σ ) mit μ = n·p und σ = ​ 9 _______ n·p· (1 – p)​an. ( Satz von Moivre-Lap ® ace ) In der Praxis gi ® t die Approximation a ® s ausreichend gut, wenn fo ® gende Bedingung erfü ®® t ist: n · p · (1 – p) º 9 oder σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​º 3 WS 3.4 1 P(X ª 900) A 2 · Φ (3) ‒1 2 P(X º 920) B 1 – Φ (‒1) 3 P(840 < X < 960) C Φ (3) 4 P(X ª 860) D 1 – Φ (1) E Φ (‒ 2) F Φ (0) WS 3.4 x φ (x) 0,5 1 1,5 2 2,5 –2,5 –2 – 1,5 – 1 –0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 φ zusammenfassung x Graph von f(x) f μ μ + σ μ – σ x F(x) F 1 μ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv