Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 143 Normalverteilte Zufallsvariablen |  Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Aus Erfahrung hat sich fo ® gende „Faustrege ® “ bewährt: Approximation der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung Eine Binomia ® vertei ® ung B(n; p) mit den Parametern n und p nähert sich mit steigendem n der Norma ® vertei ® ung N( μ ; σ ) mit μ = n·p und σ = ​ 9 _______ n·p· (1 – p)​an. ( Satz von Moivre-Lap ® ace ) In der Praxis gi ® t die Approximation a ® s ausreichend gut, wenn fo ® gende Bedingung erfü ®® t ist: σ 2 = n · p · (1 – p) º 9 oder σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​º 3 421. Kreuze a ®® e Binomia ® vertei ® ungen B(n; p) an, bei denen eine Annäherung durch eine Norma ® vertei ® ung zu ® ässig ist. a) b) 422. Vervo ®® ständige den Satz so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Die Binomia ® vertei ® ung  (1)  darf durch die Norma ® vertei ® ung  (2)  approximiert werden. (1) (2) B(1 800; 0,1)  N(180; 8,49)  B(600; 0,3)  N(180; 13,41)  B(300; 0,6)  N(180; 0,72)  423. In einer Stadt gibt es erfahrungsgemäß 5% Schwarzfahrer. Bestimme die Wahrschein ® ichkeit, dass man unter 1 000 kontro ®® ierten Personen a) höchstens 50 Schwarzfahrer findet. b) mindestens 30 Schwarzfahrer findet. c) zwischen 30 und 60 Schwarzfahrer findet. d) genau 50 Schwarzfahrer findet. Die Zufa ®® svariab ® e X bezeichnet die Anzah ® der Schwarzfahrer unter 1000 kontro ®® ierten Personen. X ist binomia ® vertei ® t. Da σ = ​ 9 ____________ 1 000 · 0,05 · (1 – 0,05)​≈ 6,89 ist, kann man die Berechnungen durch eine Norma ® vertei ® ung N(50; 6,89) approximieren. a) P(X ª 50) = 50% b) P(X º 30) ≈ 99,8% c) P(30 ª X ª 60) ≈ 92% d) 1. Art: Diese Frageste ®® ung ® ässt sich eigent ® ich nicht mit der Approximation berechnen, da die Wahrschein ® ichkeit für einen bestimmten Wert der Zufa ®® svariab ® en bei der Norma ® vertei ® ung immer 0 ist. Man muss daher auf die Binomia ® vertei ® ung zurückgreifen. P(X = 50) = ​ 2  ​ 1 000 50 ​  3 ​· 0,0​5​ 50 ​· 0,9​5​ 950 ​= 0,0578 ≈ 5,8% 2. Art: Durch die Berechnung der Wahrschein ® ichkeit P(49,5 < X < 50,5) mit Hi ® fe der Norma ® vertei ® ung N(50; 6,89), kann man eine Approximation erreichen. Die Berechnung ergibt: P(49,5 < X < 50,5) = 5,8% WS 3.4 A B(100; 0,9)  B B(100; 0,09)  C B(20; 0,5)  D B(200; 0,5)  E B(1 000; 0,01)  A B(3 000; 0,5)  B B(3 000; 0,09)  C B(3 000; 0,9)  D B(2 000; 0,1)  E B(500; 0,01)  WS 3.4 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv