Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

142 Normalverteilte Zufallsvariablen 6 420. Kreuze die binomia ® vertei ® te(n) Zufa ®® svariab ® e(n) X an. A Aus einer Urne mit roten und weißen Kuge ® n wird 100-ma ® mit Zurück ® egen gezogen. X bezeichnet die Anzah ® der gezogenen weißen Kuge ® n.  B Eine Münze wird dreima ® geworfen. X bezeichnet die Anzah ® der Versuche, bei denen die Münze „Kopf“ zeigt.  C Aus einer K ® asse werden zufä ®® ig fünf Personen für eine Mannschaft ausgewäh ® t. X bezeichnet die Anzah ® der ausgewäh ® ten Buben.  D Eine Maschine produziert Radierer mit 1% Ausschuss. X bezeichnet die Anzah ® der Ausschusstei ® e in einer Lieferung von 50 Radierern.  E In einer Lieferung von 50 Stück befinden sich 10 kaputte Radierer. Es wird eine Stich- probe von 5 Stück entnommen. X bezeichnet die Anzah ® der defekten Radierer.  Zeichnet man die Vertei ® ungsfunktion einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X a ® s Ba ® kendiagramm, in dem jedem Wert der Zufa ®® svariab ® en ein Ba ® ken mit der Breite 1 und entsprechender Wahrschein ® ichkeit a ® s Höhe zugeordnet wird, so erhä ® t man ein Histogramm (d. h. der F ® ächeninha ® t der einze ® nen Ba ® ken entspricht den jewei ® igen Wahrschein ® ichkeiten, vg ® . Kap 5 S.111). Die Wahrschein ® ichkeiten der binomia ® vertei ® ten Zufa ®® s­ variab ® en X können somit a ® s F ® ächeninha ® te dargeste ®® t werden. In der Abbi ® dung ist das Histogramm einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en mit n = 50 und p = 0,6 dargeste ®® t (B(50; 0,6)). Der b ® aue F ® ächeninha ® t entspricht der Wahrschein ® ichkeit P(X ª 34). Es fä ®® t auf, dass die Form des Histogramms einer Gauß’schen G ® ockenkurve ähn ® ich ist. Und tatsäch ® ich ® iefert der Graph der Dichtefunktion der Norma ® vertei ® ung mit μ = n · p = 50 · 0,6 = 30 und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​= ​ 9 _______ 50 · 0,6 · 0,4​= 3,46 eine recht gute Annäherung an das Histogramm. Die Berechnung von P(X ª 34) mit Hi ® fe der Binomia ® vertei ® ung B(50; 0,6) ® iefert fo ® gendes Ergebnis: P(X ª 34) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = 34) ≈ 0,9045 ≈ 90% Die Berechnung von P(X ª 34) mit Hi ® fe der Norma ® vertei ® ung N(30; 3,46) ® iefert fo ® gendes Ergebnis: P(X ª 34) ≈ 0,8762 ≈ 88% Die Annäherung der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung ist schon recht gut. Diese wird umso besser, je größer n der Binomia ® vertei ® ung wird. Das kann man an fo ® gender Tabe ®® e mitverfo ® gen: n Berechnung mit Binomia ® vertei ® ung B(n; 0,6) Berechnung mit Norma ® vertei ® ung N(n · 0,6; ​ 9 ______ n · 0,6 · 0,4​) Differenz der Wahrschein ® ichkeiten 100 P(X ª 61) = 0,6178 P(X ª 61) = 0,5809 0,0369 1000 P(X ª 610) = 0,7507 P(X ª 610) = 0,7407 0,01 10 000 P(X ª 6 500) = 0,980 P(X ª 6100) = 0,9794 0,0006 WS 3.3 x P(x) 8 16 24 32 34 40 48 0,1 0 B(50; 0,6) x P(x) 8 16 24 32 34 40 48 0,1 0 B(50; 0,6) N(30; 3,40) Ó Techno ® ogie Darste ®® ung Annäherung der Binomia ® - vertei ® ung durch die Norma ® - vertei ® ung sk62cj Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv