Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

140 Normalverteilte Zufallsvariablen 6 411. Die Fü ®® menge von Kartoffe ® chips-Packungen ist annähernd norma ® vertei ® t. Die Abfü ®® an ® age hat eine Standardabweichung von 10 g. Auf we ® chen Erwartungswert muss man die Maschine einste ®® en, sodass 90% der Packungen mehr a ® s 200 g wiegen? 412. Eine Firma erzeugt Marmorkuge ® n, deren Durchmesser norma ® vertei ® t sind. Die Maschine produziert diese Kuge ® n mit einer Standardabweichung von 2mm. Bestimme den Erwar- tungswert der produzierten Kuge ® n, sodass genau a% der Kuge ® n einen größeren Durch- messer a ® s 100mm haben. a) a = 10 b) a = 90 c) a = 50 d) a = 99 413. Die Dicke (in Mi ®® imeter mm) von B ® echp ® atten ist norma ® vertei ® t mit N( μ ; 0,05). Bestimme den Erwartungswert der B ® echdicke, wenn man weiß, dass a) 1% der P ® atten dicker a ® s 2,1mm sind. b) 25% der P ® atten mindestens 1,8mm dick sind. c) 75% der P ® atten höchstens 2,2mm dick sind. d) 50% der P ® atten dicker a ® s 3mm sind. Berechnung der Standardabweichung σ einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en 414. Eine Maschine fü ®® t Zuckerpackungen ab. Die Abfü ®® menge X ist norma ® vertei ® t mit dem Erwartungs- wert μ = 490 g. Aus Untersuchungen weiß man, dass 90% a ®® er Packungen zwischen 481 und 499g wiegen. Bestimme die Standardabweichung σ der Abfü ®® menge. Es ist f mit f(x) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ · σ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​​ 2  ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ 2 ​ ​die Dichtefunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X. Für die gesuchte Standardabweichung muss ge ® ten P(481 ª X ª 499) = 0,9. Mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® ® öst man fo ® gende G ® eichung nach der Variab ® en σ auf: ​  :  481 ​  499 ​  ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ · σ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​​ 2  ​  x – 490 _ σ  ​  3 ​ 2 ​ ​dx = 0,9. Man erhä ® t σ = 5,4716. Die gesuchte Standardabweichung beträgt ca. 5,47. 415. Die Lebensdauer X von Eintagsf ® iegen ist norma ® vertei ® t mit dem Erwartungswert μ = 1 Tag. Bestimme die Standard­ abweichung von X, wenn man weiß, dass 90% a ®® er F ® iegen zwischen 22 h und 26 h ® eben. Interpretiere den erha ® tenen Wert. 416. Es wird angenommen, dass die norma ® e Körpertemperatur von Menschen norma ® vertei ® t ist mit einem Erwartungswert von 36,7°. Bestimme die Standardabweichung der Körpertemperatur, wenn man weiß, dass a) 80% der Menschen eine Temperatur von mehr a ® s 36,5°C haben. b) 95% der Menschen eine Temperatur von höchstens 37°C haben. c) 99% der Menschen eine Temperatur zwischen 36,2°C und 37,2°C haben. 417. Die Abfü ®® menge X (in Mi ®® i ® iter m ® ) von F ® aschen ist norma ® vertei ® t. 50% der F ® aschen ent­ ha ® ten mehr a ® s 500m ® . Wie groß darf die Standardabweichung von X höchstens sein, damit a) mit 95% Sicherheit mehr a ® s 495m ® in jeder F ® asche sind? b) mit 99% Sicherheit mehr a ® s 495m ® in jeder F ® asche sind? Ó Vertiefung An ® eitung zur Berechnung des Erwartungs­ werts mit Hi ® fe der Standard-Norma ® vertei ® ung d78q3a muster x 450 470 480 490 500 510 f P(481 ª X ª 499) = 0,9 Ó Techno ® ogie An ® eitung Standardabwei- chung einer Norma ® vertei ® ung berechnen 7r58pg Ó Vertiefung An ® eitung zur Berechnung der Standard­ abweichung mit Hi ® fe der Standard- Norma ® vertei ® ung fs33vc Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv