Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

techno- logie 139 Normalverteilte Zufallsvariablen |  Bestimmung von Parametern der Normalverteilung 405. Gegeben ist eine norma ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e X mit N( μ ; σ ). Bestimme den Wert für k. a) N(200; 4); P(X ª k) = 0,34 d) N(3283; 34,1); P(X º k) = 0,05 b) N(167; 8); P(X º k) = 0,34 e) N(193; 1); P( μ – k ª X ª μ + k) = 0,99 c) N(23; 7); P(X ª k) = 0,995 f) N(82,2; 2,3); P( μ – k ª X ª μ + k) = 0,9 Grenze x des bestimmten Integra ® s ​ :  ‒ • ​  x ​ 1 _  ​ 9 __ 2 π​ · σ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​​ 2  ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ 2 ​ ​dx = p berechnen Geogebra (im CAS-Fenster): N( μ ; σ ; x) = p numerisch ® ösen Beispie ® : N(505; 10; x) = 0,1 numerisch ® ösen: x = 492,18 TI-Nspire: invNorm(p, μ , σ )  Beispie ® : invNorm(0,1, 505, 10) ≈ 492,18 406. Gegeben ist eine N( μ ; σ )-vertei ® te Zufa ®® svariab ® e X. Bestimme ein symmetrisches Interva ®® [a; b] um den Erwartungswert, dessen Werte mit einer Wahrschein ® ichkeit von γ angenommen werden (P(a ª X ª b) = γ ). a) N(381; 14); γ = 0,95 c) N(1000; 15,23); γ = 0,90 e) N(38; 4); γ = 0,90 b) N(0; 1); γ = 0,99 d) N(398; 5,6); γ = 0,95 f) N(5,2; 0,82); γ = 0,99 407. Das Gewicht einer Gruppe von Personen ist norma ® vertei ® t mit μ = 78 kg und σ = 2,1 kg. We ® ches  a) Mindestgewicht  b) Maxima ® gewicht haben 75% der Personen? c) In we ® chen symmetrischen Bereich um den Erwartungswert fä ®® t das Gewicht von 99% der Personen? d) A ® s Norma ® gewicht definiert man einen Gewichtsbereich symmetrisch um den Erwartungs- wert, den 80% der Personen erreichen. Berechne das Interva ®® für das Norma ® gewicht. 408. Die Wartezeit in der Te ® efonwartesch ® eife eines Amtes (in Minuten) ist norma ® vertei ® t mit dem Erwartungswert 3,5 und der Standardabweichung 1,1. Wie ® ange müssen 90% a ®® er Anrufer und Anruferinnen  a) mindestens  b) höchstens warten? c) In we ® chem symmetrischen Interva ®® um den Erwartungswert ® iegen 50% a ®® er Wartezeiten? 409. Die Länge von Ho ® zstiften ist norma ® vertei ® t mit N( μ ; σ ). A ® s Ausschuss werden jene a% der Stifte festge ® egt, die um mehr a ® s einen bestimmten Wert vom Erwartungswert der Länge abweichen. Bestimme jene Stift ® ängen, die a ® s Ausschuss aussortiert werden. a) N(300; 10); a = 5 b) N(43; 3,4); a = 10 c) N(5000; 23,2); a = 1 Berechnung des Erwartungswertes μ einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en 410. Eine Maschine fü ®® t Zuckerpackungen ab. Die Abfü ®® menge X ist norma ® vertei ® t mit der Standardabweichung σ = 10g. Man weiß, dass 75% a ®® er Packungen mehr a ® s 490g wiegen. Bestimme den Erwartungswert μ der Abfü ®® menge. Es ist f mit f(x) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ · σ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​​ 2  ​  x – μ _  σ  ​  3 ​ 2 ​ ​die Dichtefunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X. Für den gesuchten Erwartungswert muss ge ® ten P(X º 490) = 0,75. Mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® ® öst man fo ® gende G ® eichung nach der Variab ® en μ auf: ​ :  490 ​  • ​ 1 __  ​ 9 __ 2 π​ ·10 ​· ​e​ ‒​  1 _ 2  ​ ​ 2  ​  x – μ _ 10  ​  3 ​ 2 ​ ​dx = 0,75. Man erhä ® t μ = 496,74. Der gesuchte Erwartungs- wert der Abfü ®® menge beträgt ca. 497g. Ó Techno ® ogie An ® eitung Integra ® grenzen berechnen i683xn muster Ó Techno ® ogie An ® eitung Erwartungswert einer Norma ® vertei ® ung berechnen je95zq x 440 460 480 500 520 540 f P(X º 490) = 0,75 μ = 497 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv