Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch
138 kompe- tenzen 6.3 Bestimmung von Parametern der Norma ® vertei ® ung Lernzie ® e: º º Interva ®® e einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en berechnen können º º Ein um den Erwartungswert symmetrisches Interva ®® bei gegebener Wahrschein ® ichkeit angeben können º º Die Parameter μ und σ einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en berechnen können º º Die Norma ® vertei ® ung in anwendungsorientierten Bereichen verwenden können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: WS 3.4 Die Approximation der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung interpretieren und anwenden können Bei der Berechnung einer Wahrschein ® ichkeit P(X ª a) einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en treten vier Größen auf: P, a, μ und σ . Prinzipie ®® ist es a ® so notwendig, dass drei dieser Größen bekannt sind, um die vierte Größe eindeutig ermitte ® n zu können. Es sind somit, je nachdem we ® che Größen gegeben sind, vier verschiedene Aufgabentypen mög ® ich. In diesem Kapite ® werden die noch nicht bearbeiteten Aufgabentypen betrachtet. Berechnung von Interva ®® en einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en 404. Eine Maschine fü ®® t Zuckerpackungen ab. Die Fü ®® menge X (in Gramm g) wird a ® s norma ® vertei ® t mit N(505; 10) angenommen. a) We ® ches Mindestgewicht haben 90% der Packungen? b) In we ® chem symmetrischen Interva ®® um den Erwartungswert ® iegen 95% der Packungen? a) Es wird die Fü ®® menge gesucht, über der 90% der Packungen ® iegen. Man sucht a ® so ein k, für das gi ® t P(X º k) = 0,9. Bezeichnet f mit f(x) = 1 _ 9 __ 2 π · σ · e ‒ 1 _ 2 2 x – μ _ σ 3 2 die Dichtefunktion von X, so kann man k ermitte ® n, indem man mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® die G ® eichung : k • f(x)dx = 0,9 nach k auf ® öst. Der Wert von k beträgt k = 492,18. A ® ternativ kann man auch die G ® eichung : ‒ • k f(x)dx = 0,1 ® ösen. Man erhä ® t ebenfa ®® s k = 492,18. 90% der Packungen haben mindestens 492g. b) Man sucht für X ein Interva ®® [505 – k; 505 + k], in dem 95% der Packungen ® iegen. Mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® ® öst man die G ® eichung : 505 – k 505 + k f(x)dx = 0,95. Man erhä ® t k = 19,60. A ® ternativ kann man auch die G ® eichung : ‒ • a f(x)dx = 0,025 ® ösen. Man erhä ® t a = 485,40. Das gesuchte Interva ®® ® autet: [505 – 19,60; 505 + 19,60] = [485,40; 524,60] muster Ó Vertiefung An ® eitung zur Berechnung mit Hi ® fe der Standard- norma ® - vertei ® ung y9bb2d Ò Techno ® ogie An ® eitung Interva ®® e einer Norma ® - vertei ® ung berechnen m68ha8 x 505 495 485 505 – k 505 + k 475 465 515 525 535 μ P( μ – k ª X ª μ + k) = 0,95 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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