Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

138 kompe- tenzen 6.3 Bestimmung von Parametern der Norma ® vertei ® ung Lernzie ® e: º º Interva ®® e einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en berechnen können º º Ein um den Erwartungswert symmetrisches Interva ®® bei gegebener Wahrschein ® ichkeit angeben können º º Die Parameter μ und σ einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en berechnen können º º Die Norma ® vertei ® ung in anwendungsorientierten Bereichen verwenden können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: WS 3.4 Die Approximation der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung interpretieren und anwenden können Bei der Berechnung einer Wahrschein ® ichkeit P(X ª a) einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en treten vier Größen auf: P, a, μ und σ . Prinzipie ®® ist es a ® so notwendig, dass drei dieser Größen bekannt sind, um die vierte Größe eindeutig ermitte ® n zu können. Es sind somit, je nachdem we ® che Größen gegeben sind, vier verschiedene Aufgabentypen mög ® ich. In diesem Kapite ® werden die noch nicht bearbeiteten Aufgabentypen betrachtet. Berechnung von Interva ®® en einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en 404. Eine Maschine fü ®® t Zuckerpackungen ab. Die Fü ®® menge X (in Gramm g) wird a ® s norma ® vertei ® t mit N(505; 10) angenommen. a) We ® ches Mindestgewicht haben 90% der Packungen? b) In we ® chem symmetrischen Interva ®® um den Erwartungswert ® iegen 95% der Packungen? a) Es wird die Fü ®® menge gesucht, über der 90% der Packungen ® iegen. Man sucht a ® so ein k, für das gi ® t P(X º k) = 0,9. Bezeichnet f mit f(x) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ · σ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​​ 2  ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ 2 ​ ​die Dichtefunktion von X, so kann man k ermitte ® n, indem man mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® die G ® eichung ​  :  k ​  • ​    f(x)​dx = 0,9 nach k auf ® öst. Der Wert von k beträgt k = 492,18. A ® ternativ kann man auch die G ® eichung ​  :  ‒ • ​  k ​    f(x)​dx = 0,1 ® ösen. Man erhä ® t ebenfa ®® s k = 492,18. 90% der Packungen haben mindestens 492g. b) Man sucht für X ein Interva ®® [505 – k; 505 + k], in dem 95% der Packungen ® iegen. Mit einem e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® ® öst man die G ® eichung  ​  :  505 – k ​  505 + k ​  f(x)​dx = 0,95. Man erhä ® t k = 19,60. A ® ternativ kann man auch die G ® eichung ​ :  ‒ • ​  a ​ f(x)​dx = 0,025 ® ösen. Man erhä ® t a = 485,40. Das gesuchte Interva ®® ® autet: [505 – 19,60; 505 + 19,60] = [485,40; 524,60] muster Ó Vertiefung An ® eitung zur Berechnung mit Hi ® fe der Standard- norma ® - vertei ® ung y9bb2d Ò Techno ® ogie An ® eitung Interva ®® e einer Norma ® - vertei ® ung berechnen m68ha8 x 505 495 485 505 – k 505 + k 475 465 515 525 535 μ P( μ – k ª X ª μ + k) = 0,95 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv