Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

136 Normalverteilte Zufallsvariablen 6 Es ist X zum Beispie ® eine norma ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e mit μ = 12 und σ = 3. Wi ®® man die Wahrschein ® ichkeit für P(X ª 7,5) ohne Techno ® ogieeinsatz bestimmen, geht man in fo ® genden drei Schritten vor: 1) Man über ® egt, wie man die gesuchte Wahrschein ® ichkeit mit der Vertei ® ungsfunktion F bestimmen würde: P(X ª 7,5) = F(7,5) 2) Man standardisiert den Wert der Vertei ® ungsfunktion: z = ​  x – μ _ σ  ​ = ​  7,5 – 12 _ 3  ​= ‒1,5 3) Da F(7,5) = Φ (‒1,5) gi ® t, ermitte ® t man den Wert von Φ (‒1,5) mit Hi ® fe der N(0; 1)-Tabe ®® e und erhä ® t die gesuchte Wahrschein ® ichkeit: P(X ª 7,5) = F(7,5) = Φ (‒1,5) = 0,0668 Hinweis zur Bedeutung des transformierten z-Wertes Der bei der Transformation von x = 7,5 erha ® tene z-Wert z = ‒1,5 hat die Bedeutung, dass der Wert x = 7,5 im Abstand 1,5 · σ unter dem Erwartungswert μ = 12  ® iegt. Diesen a ®® gemein gü ® tigen Zusammenhang kann man an fo ® gender Umformung der Transformationsg ® eichung erkennen: z = ​  x – μ _ σ  ​ w  x – μ = z · σ Der Wert von z gibt a ® so den Abstand x vom Erwartungswert μ in Vie ® fachen von σ an. 392. Eine Maschine erzeugt Näge ® , deren Länge X (in Mi ®® imeter) N(50; 3)-norma ® vertei ® t ist. Bestimme die Wahrschein ® ichkeit mit Hi ® fe der Standard-Norma ® vertei ® ung. a) P(45 ª X) b) P(45 ª X ª 52) a) P(45 ª X) = 1 – F(45) = 1 – Φ​ 2  ​  45 – 50 _ 3  ​  3 ​≈ 1 – Φ (‒1,67) = 1 – 0,0475 = 0,9525 = 95,25% b) P(45 ª X ª 52) = F(52) – F(45) = Φ​ 2  ​  52 – 50 _  3  ​  3 ​– Φ​ 2  ​  45 – 50 _ 3  ​  3 ​≈ Φ (0,67) – Φ (‒1,67) = 0,7486 – 0,0475 = = 0,7011 = 70,11% 393. Das Gewicht (in Gramm g) einer Apfe ® sorte ist norma ® vertei ® t mit μ = 65 g und σ = 20 g. Bestimme mit Hi ® fe der Standard-Norma ® vertei ® ung die Wahrschein ® ichkeit, dass ein Apfe ® a) mehr a ® s 80 g wiegt. c) zwischen 40 g und 65 g wiegt. b) maxima ® 70 g wiegt. d) mindestens 60 g wiegt. 394. Die Ha ® tbarkeit (in Tagen) einer Obstsorte ist norma ® vertei ® t mit N(15; 1). Bestimme mit Hi ® fe der Standard-Norma ® vertei ® ung die Wahrschein ® ichkeit, dass das Obst a) weniger a ® s 13 Tage hä ® t. c) mindestens 10 Tage hä ® t. b) maxima ® 14 Tage hä ® t. d) zwischen 13 und 17 Tage hä ® t. 395. Die Länge L von Wo ®® fäden (in Meter) ist N(30; 0,1)-vertei ® t. Berechne die Wahrschein ® ichkeit mit Hi ® fe der Standard-Norma ® vertei ® ung und interpretiere den Wert. (Verwende dabei die Begriffe „mindestens“ bzw. „höchstens“.) a) P(30,2 ª L) c) P(29,9 ª L ª 30) e) P(33 ª L) b) P(L ª 29,8) d) P(L ª 30,4) f) P(29,7 ª L ª 29,8) x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 f F(7,5) = 0,0668 x φ (x) 0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 φ Φ (–1,5) = 0,0668 z 12 –1,5 μ μ​ – 2 σ μ​ – 1 σ μ​ + 1 σ μ​ + 2 σ z-Skala –2 –1 0 1 2 x-Skala für normalverteilte Zufallsvariablen X mit μ = 12 und σ = 3 Zufallsvariablen mit μ und σ x-Skala allgemein für normalverteilte 12 – 1,5 · 3 = 7,5 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv