Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

135 Normalverteilte Zufallsvariablen |  Die Standard-Normalverteilung 385. Φ bezeichnet die Vertei ® ungsfunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung. Berechne den Wert des Terms: a) Φ (1,23) + Φ (‒ 0,36) = b) Φ (‒ 2,1) – Φ (‒ 2,3) = c) 2 · Φ (1) = 386. X ist eine N(0; 1)-vertei ® te Zufa ®® svariab ® e. Bestimme mit Hi ® fe der Φ -Tabe ®® e den Wert der Wahrschein ® ichkeit. a) P(X ª 2) c) P(X ª ‒ 0,53) e) P(‒1 ª X ª 1) g) P(‒ 2 ª X ª 0) b) P(X º 2) d) P(X º ‒ 2,13) f) P(‒ 0,34 ª X ª 0,34) h) P(0 ª X ª 1) 387. φ ist die Dichtefunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 1. Ergänze die Texttei ® e durch Ankreuzen so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Der Graph von φ hat an der Ste ®® e  (1)  die  (2)   . 388. Warum ist die Vertei ® ungsfunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung nur für z Werte von ‒ 3,00 bis 3,00 tabe ®® iert? Ste ®® e eine begründete Vermutung an. Umkehraufgaben 389. Bestimme den Wert von z, für den gi ® t Φ (z) = 0,89. Man sucht in der z-Spa ® te der Φ -Tabe ®® e den Wert, der dem Wert 0,89 am nächsten ® iegt. Nun ® iest man z ab: z = 1,23 390. Bestimme den Wert von z. a) Φ (z) = 0,05 b) Φ (z) = 0,99 c) Φ (z) = 0,95 d) Φ (z) = 0,5 e) Φ (z) = 0,67 391. Bestimme den Wert von z. a) D(z) = 0,95 b) D(z) = 0,99 c) D(z) = 0,90 d) D(z) = 0,975 Die Standardisierung einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en Um mit Hi ® fe der standardnorma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en Z die Wahrschein ® ichkeiten von norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ zu bestimmen, muss man die Werte x der N( μ ; σ )-Vertei ® ung in z-Werte einer N(0; 1)-Vertei ® ung transformieren. Die Transformation wird durch die G ® eichung z = ​  x – μ _ σ  ​ beschrieben (=  Standardisierung ). x und z besitzen durch diese Transformation die Eigenschaft F(x) = Φ​ 2  ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ , a ® so gi ® t: P(X ª x) = P(Z ª z). Dadurch kann man die Werte a ®® er N( μ ; σ ) Vertei ® ungsfunktionen in der Tabe ®® e der N(0; 1) Vertei ® ungsfunktion ab ® esen. WS 3.4 (1) (2) ‒ 2  k ® einste Steigung    1  größte Steigung    2  Steigung 0  muster z Φ (‒ z) Φ (z) D(z) 1,22 1112 8 888 7775 1,23 1 093 8 907 7813 1,24 1 075 8 925 7850 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv