Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

134 Normalverteilte Zufallsvariablen 6 Im Anhang auf Seite 287 findest du die Tabe ®® e der Vertei ® ungsfunktion Φ einer N(0; 1)-vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en Z. Es ist üb ® ich den Wert der standardnorma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en Z mit z zu bezeichnen. Die Verwendungsmög ® ichkeiten der Φ -Tabe ®® e werden an drei Beispie ® en er ® äutert. Wahrschein ® ichkeit durch Vertei ® ungs­ funktion Φ ausdrücken graphische Veranschau ® ichung der Wahrschein ® ichkeit Aus der Φ - Tabe ®® e auf Seite 287 den Wert ermitte ® n Ergebnis P(Z ª 1,23) = Φ (1,23) x φ Φ (1,23) –1,23 1,23 0 z Φ (‒ z) Φ (z) D(z) 1,22 1112 8 888 7775 1,23 1 093 8 907 7813 1,24 1 075 8 925 7850 P(Z ª 1,23) = 0,8907 P(Z ª ‒1,23) = Φ (‒1,23) x φ Φ (–1,23) –1,23 1,23 0 z Φ (‒ z) Φ (z) D(z) 1,22 1112 8 888 7775 1,23 1 093 8 907 7813 1,24 1 075 8 925 7850 P(Z ª ‒1,23) = 0,1093 P(‒1,23 ª Z ª 1,23) = = D(1,23) x φ D(1,23) –1,23 1,23 0 z Φ (‒ z) Φ (z) D(z) 1,22 1112 8 888 7775 1,23 1 093 8 907 7813 1,24 1 075 8 925 7850 P(‒1,23 ª Z ª 1,23) = = 0,7813 Um Φ (1,23) zu berechnen, sucht man in den z-Spa ® ten den Wert z = 1,23. Danach ® iest man daneben in der Φ (z)-Spa ® te den entsprechenden Wert ab. Von den Φ -Werten in der Tabe ®® e sind aus P ® atzgründen nur die Dezima ® ste ®® en angegeben („8 907“ š 0,8907). So erhä ® t man Φ (1,23) = 0,8907. Ebenso kann man mit Hi ® fe der Spa ® te Φ (‒ z) den Wert der Vertei ® ungsfunktion für negative z-Werte ermitte ® n: Φ (‒1,23) = 0,1093. In der Spa ® te D(z) kann man den Wert für ein symme­ trisches Interva ®® um μ = 0 ab ® esen. D(1,23) = Φ (‒1,23 ª X ª 1,23) = 0,7813 382. Zeige graphisch oder rechnerisch, dass fo ® gende Beziehung gi ® t: a) Φ (‒ z) = 1 – Φ (z) b) D(z) = 2 Φ (z) – 1 383. Z ist eine N(0; 1)-vertei ® te Zufa ®® svariab ® e. Bestimme mit Hi ® fe der Φ -Tabe ®® e den Wert der Wahrschein ® ichkeit. a) P(Z ª ‒1,12) b) P(Z º 2,34) c) P(‒ 0,5 ª Z ª 0,5) a) P(Z ª ‒1,12) = Φ (‒1,12) = (nachschauen in der Tabe ®® e) = 0,1314 b) P(Z º 2,34) = 1 – P(Z < 2,34) = 1 – Φ (2,34) = ¥ = 1 – 0,9904 = 0,0096 c) P(‒ 0,5 ª Z ª 0,5) ist ein symmetrisches Interva ®® um den Erwartungswert 0. Die Wahrschein ® ichkeit entspricht dem Tabe ®® enwert von D(0,5) = 0,3829 384. X ist eine N(0; 1)-vertei ® te Zufa ®® svariab ® e. Bestimme mit Hi ® fe der Φ -Tabe ®® e den Wert der Vertei ® ungsfunktion. Schreibe den erha ® tenen Wert a ® s Wahrschein ® ichkeit an und ste ®® e ihn graphisch mit Hi ® fe der Dichtefunktion φ dar. a) Φ (1) c) Φ (2,1) e) Φ (0,23) g) Φ (1,96) b) Φ (‒ 2) d) Φ (‒ 2,9) f) Φ (‒ 0,76) h) Φ (‒ 2,61) muster Tabe ®® e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv