Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

131 Normalverteilte Zufallsvariablen |  Die Normalverteilung 371. Zeige mit Hi ® fe einer Rechnung an einem se ® bstgewäh ® ten Beispie ® , dass eine norma ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e mit der Wahrschein ® ichkeit a) 68,3% einen Wert aus dem 1 σ -Interva ®® annimmt. b) 95,4% einen Wert aus dem 2 σ -Interva ®® annimmt. c) 99,7% einen Wert aus dem 3 σ -Interva ®® annimmt. Die Vertei ® ungsfunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en In Kapite ® 5 wurde der Begriff „Vertei ® ungsfunktion F“ einer stetigen Zufa ®® svariab ® en X besprochen. Ist f die Dichtefunk- tion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en, dann heißt F(x) = P(X ª x) die Vertei ® ungsfunktion der Zufa ®® svariab ® en X. Es gi ® t daher: 1) F(a) = P(X ª a) = ​  :  ‒ • ​  a ​    f(x)​dx 2) F(b) – F(a) = P(a ª X ª b) = ​  :  a ​  b ​    f(x)​dx Die Abbi ® dung zeigt den Graphen der Vertei ® ungsfunktion F einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en mit dem Erwartungs- wert μ . Der Graph von F nähert sich asymptotisch dem Wert 1 an und μ ist die Wendeste ®® e des Graphen von F. 372. X ist eine norma ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e. Drücke die angeführte Wahrschein ® ichkeit mit Hi ® fe der Vertei ® ungsfunktion F aus und veranschau ® iche die Wahrschein ® ichkeit am Graphen der Dichtefunktion von X. a) P(X ª 5) b) P(X > 7) c) P(5 ª X ª 7) a) Laut Definition der Vertei ® ungsfunktion ist P(X ª 5) = F(5). b) Da P(X > 7) = 1 – P(X ª 7) gi ® t: P(X > 7) = 1 – F(7) c) Da P(5 ª X ª 7) = = P(X ª 7) – P(X ª 5) gi ® t: P(5 ª X ª 7) = F(7) – F(5) x 5 f P(X ª 5) = F(5) x 7 f P(X > 7) = 1 – F(7) F(7) x 5 7 f P(5 ª X ª 7) = F(7) – F(5) 373. X ist eine norma ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e. Drücke die angeführte Wahrschein ® ichkeit mit Hi ® fe der Vertei ® ungsfunktion F aus. Es gi ® t a < b. a) P(X ª 10) c) P(X º 11) e) P(7 < X < 8) b) P(2 ª X ª 4) d) P(a ª X ª b)  f) P (a º X oder b ª X) x a f F(a) = P(X ª a) Ó Techno ® ogie An ® eitung Vertei ® ungs- funktion 3sn6yu x F(x) F 1 μ muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv