Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 130 Normalverteilte Zufallsvariablen 6 σ -Interva ®® e Gegeben ist eine norma ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e X mit der Dichtefunktion f 1 σ -Interva ®® 2 σ -Interva ®® 3 σ -Interva ®® P( μ – σ ª X ª μ + σ ) ≈ 0,683 P( μ – 2 σ ª X ª μ + 2 σ ) ≈ 0,954 P( μ – 3 σ ª X ª μ + 3 σ ) ≈ 0,997 367. Die Länge einer bestimmten Fischart ist ungefähr norma ® vertei ® t mit μ = 31 cm und σ  = 1,5 cm. a) Wievie ® Prozent der Fische sind zwischen 29,5 cm und 32,5 cm ® ang? b) In we ® chem symmetrischen Interva ®® um den Erwartungswert ® iegen 99,7% der Fisch ® ängen? c) Wievie ® Prozent der Fische sind größer a ® s 34 cm? a) Das angegebene Interva ®® ist genau das 1 σ -Interva ®® [31 – 1,5; 31 + 1,5], daher ® iegt die Länge von ca. 68,3% a ®® er Fische in diesem Interva ®® . b) Es ist nach dem 3 σ -Interva ®® gefragt: [31 – 3 ·1,5; 31 + 3 ·1,5]. 99,7% der Fische sind zwischen 26,5 cm und 35,5 cm ® ang. c) P(X > 34) ist in nebenstehender Abbi ® dung genau der Bereich rechts des 2 σ -Interva ®® s. Da das 2 σ -Interva ®® 95,4% beträgt, umfasst der gesuchte Bereich die Wahrschein ® ichkeit ​  1 – 0,954 __ 2  ​= 0,023. 2,3% der Fische sind ® änger a ® s 34 cm. 368. Die Länge (in Zentimeter cm) von Näge ® n ist norma ® vertei ® t mit N(5; 1,2). Bestimme die Wahrschein ® ichkeit des angegebenen Längenbereichs mit Hi ® fe der Wahrschein ® ichkeiten der Sigma-Interva ®® e. a) [3,8; 6,2] b) [2,6; 7,4] c) ® änger a ® s 6,2 cm d) kürzer a ® s 1,4 cm 369. Die Körpermasse (in Ki ® ogramm kg) einer A ® tersgruppe ist norma ® vertei ® t mit μ = 37kg und σ  = 3 kg. Bestimme die Wahrschein ® ichkeit des angegebenen Massenbereichs mit Hi ® fe der Wahrschein ® ichkeiten der Sigma-Interva ®® e. a) [37; 40] b) [31; 37] c) schwerer a ® s 43 kg d) ® eichter a ® s 31 kg 370. Die Lebensdauer von G ® ühbirnen (in Stunden h) ist norma ® vertei ® t mit dem Erwartungswert 890 h und der Standardabweichung 50 h. Bestimme ein symmetrisches Interva ®® um den Erwartungswert, in dem die Lebensdauer von p% der G ® ühbirnen ® iegt. a) p = 99,7 b) p = 68,3 c) p = 95,4 x μ​ – σ μ μ​ + σ f 68,3% x μ​ – 2 σ μ μ​ + 2 σ f 95,4% x μ​ – 3 σ μ μ​ + 3 σ f 99,7% muster x 28 H 34 f 2 σ -Intervall = 95,4% P(X > 34) Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv