Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

125 Normalverteilte Zufallsvariablen |  Die Normalverteilung 346. Zeichne die Graphen der entsprechenden Dichtefunktionen in ein Koordinatensystem und formu ® iere Unterschiede und Zusammenhänge. a) N(10; 1) N(10; 2) N(10; 3) c) N(300; 20) N(200; 20) N(100; 20) b) N(100; 10) N(100; 20) N(100; 30) d) N(500; 10) N(400; 10) N(200; 10) 347. X ist eine N( μ ; σ )-vertei ® te Zufa ®® svariab ® e mit der Dichtefunktion f. Fü ®® e die Lücken, sodass ein mathematisch korrekter Satz entsteht. a) Wenn man nur den Parameter μ verk ® einert, dann verschiebt sich der Graph von f nach  (1)  und der Funktionswert des Maximums von f  (2)   . b) Wenn man nur den Parameter σ vergrößert, dann gi ® t: Der Funktionswert des Maximums von f  (1)  und der Graph wird ent ® ang der x-Achse  (2)   . 348. Zeige, dass die Dichtefunktion f der Norma ® vertei ® ung N( μ ; σ ) fo ® gende Eigenschaft hat: a) f besitzt ein ® oka ® es Maximum an der Ste ®® e μ . b) Die Wendepunkte von f sind an den Ste ®® en μ – σ und μ + σ . c) Der Graph von f ist symmetrisch zur Geraden x = μ . Zeige, dass gi ® t: f( μ – c) = f( μ + c) Berechnung von Wahrschein ® ichkeiten mit Techno ® ogieeinsatz Da man Wahrschein ® ichkeiten stetiger Zufa ®® svariab ® en a ® s F ® ächeninha ® te unter einer (Wahrschein ® ichkeits-) Dichte- funktion interpretieren kann, berechnet man Wahrschein® ichkeiten norma ® vertei ® ter Zufa ®® svariab ® en mit Hi ® fe von F ® ächeninha ® ten unter der entsprechenden Gauß’schen G ® ockenkurve. Betrachtet man zum Beispie ® eine N(500; 50)-vertei ® te Zufa ®® svariab ® e X, so entspricht die Wahrschein ® ichkeit P(X ª 575) dem markierten F ® ächen­ inha ® t in der nebenstehenden Abbi ® dung der Gauß’schen G ® ockenkurve. Dieser wird durch das fo ® gende Integra ® berechnet: P(X ª 575) = ​  :  ‒ • ​  575 ​  ​  1 __  ​ 9 __ 2 π​ · 50 ​· ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​​ 2  ​  x – 500 _ 50  ​  3 ​ 2 ​ ​dx Das Aufsuchen von Stammfunktionen gesta ® tet sich se ® ten so einfach, wie bisher gezeigt. Zum Beispie ® kann man die Stammfunktion der Gauß-Funktion nicht angeben. Die Wahr­ schein® ichkeiten (= F ® ächeninha ® te) in diesem Kapite ® werden daher mit Techno® ogieeinsatz berechnet. Die Berechnung ohne Techno ® ogieeinsatz wird ansch ® ießend im Abschnitt 6.2 vorgeste ®® t. P(X ª 575) = ​  :  ‒ • ​  575 ​  ​  1 __  ​ 9 __ 2 π​ · 50 ​· ​e​ ‒ ​  1 _  2 ​​ 2  ​  x – 500 _ 50  ​  3 ​ 2 ​ ​dx =   ¥   = 0,9332 Ó Techno ® ogie Darste ®® ung Einf ® uss von μ und σ auf den Graphen qn7hr8 WS 3.4 (1) (2) ® inks  wird k ® einer  rechts  wird größer  unten  b ® eibt g ® eich  (1) (2) wird k ® einer  gestreckt  wird größer  gestaucht  b ® eibt g ® eich  weder gestreckt noch gestaucht  TIPP x 350 400 450 500 550 600 f Techno ® ogie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv