Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 123 kompe- tenzen 6.1 Die Norma ® vertei ® ung Lernzie ® e: º º Die Eigenschaften von norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en kennen º º Den Graphen der Dichtefunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en skizzieren und interpretieren können º º Die Wahrschein ® ichkeiten von norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en berechnen können º º Die Norma ® vertei ® ung in anwendungsorientierten Bereichen verwenden können º º Wahrschein ® ichkeiten der σ -Interva ®® e kennen Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: WS 3.4 Die Approximation der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung interpretieren und anwenden können Vie ® e stetige Zufa ®® svariab ® en ergeben sich aus der Summe vie ® er einze ® ner, unabhängiger Zufa ®® svariab ® en, von denen keine einen besonders großen Einf ® uss hat. Wird zum Beispie ® von einer Maschine Mi ® ch abgefü ®® t und bezeichnet die stetige Zufa ®® svariab ® e X die abgefü ®® te Mi ® chmenge, so hängt diese von vie ® en Zufa ®® svariab ® en ab: Temperatur, Abnützungsgrad der Maschine, Zusammensetzung der Mi ® ch, Luftfeuchtigkeit, Verschmutzungsgrad der Maschine, Mi ® chmenge u. s.w. Ermitte ® t man durch eine Untersuchung die Dichtefunktion einer so ® chen Zufa ®® svariab ® en, so hat deren Graph oft eine charakteristische G ® ockenform . Der „Zentra ® e Grenzwertsatz“ besagt nun, dass derartige Zufa ®® svariab ® en unter bestimmten Voraussetzungen norma ® vertei ® t sind. Ihre Dichtefunktion f ist die Dichtefunktion der Norma ® vertei ® ung . Die Dichtefunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en Besitzt eine stetige Zufa ®® svariab ® e X mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ die Dichtefunktion f mit f(x) =   1 _  9 __ 2 π · σ · e ‒   1 _ 2 2    x – μ _ σ    3 2 , so nennt man die Zufa ®® svariab ® e X norma ® vertei ® t . Man sagt: X ist eine N( μ ; σ )-vertei ® te Zufa ®® svariab ® e. Diese Funktion wird nach ihrem Entdecker Car ® Friedrich Gauß (1777–1855) auch „Gauß-Funktion“ genannt und ihr Graph wegen der charakteristischen Form auch a ® s „Gauß’sche G ® ockenkurve“ bezeichnet. 343. Gegeben ist die Dichtefunktion f einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X. 1) Skizziere den Graphen von f. 2) Bestimme das Maximum von f. Was fä ®® t dir auf? 3) Bestimme die Wendeste ®® en von f. We ® cher Zusammenhang mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung von X fä ®® t dir auf? a) f(x) =   1 _  9 __ 2 π · 5 · e ‒   1 _ 2 2    x – 3 _ 5    3 2 c) f(x) =   1 _  9 ___ 18 π · e ‒   1 _ 2 2    x _  3 3 2 e) f(x) =   1 _  9 __ 2 π · e ‒ (x – 3) 2 b) f(x) =   1 _  9 ___ 18 π · e ‒   1 _ 2 2    x + 3 _ 3    3 2 d) f(x) =   1 _  9 __ 2 π · e ‒   1 _  2 x 2 f) f(x) =   1 _  9 ___ 50 π · e ‒   1 _ 2 2    x – 5 _ 5    3 2 x Graph von f f μ μ + σ μ – σ Car ® Friedrich Gauß Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv