Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

121 Die Zah ® 1 021 ist eine Primzah ® . Bi ® den wir durch Verknüpfung der Aussagen „1 021 ist eine Primzah ® “ und „Es existieren Einhörner“ den fo ® genden „oder“-Satz: „1 021 ist eine Primzah ® oder es existieren Einhörner“. Dieser Satz ist wahr, wei ® die erste Aussage wahr ist. Über den Wahrheitsgeha ® t des zweiten Satzes wird nichts ausgesagt. Wir betonen: Dieser zusammengesetzte Satz ist wahr! Wäre aber auch die Verneinung des ersten Satzes (a ® so „1 021 ist keine Primzah ® “) wahr, so ist dessen Verneinung (a ® so „1 021 ist eine Primzah ® “) fa ® sch (Satz vom ausgesch ® ossenen Dritten). Daraus ergibt sich, da der zusammengesetzte Satz ja bereits a ® s wahr erkannt wurde, dass der zweite Tei ® satz wahr sein muss: Es existieren a ® so Einhörner!! Während in anderen Wissenschaften ein Widerspruch nicht so gravierend ist (es wird z. B. nicht g ® eich die ganze Wissenschaft der Geschichte in Frage geste ®® t, nur wei ® zwei Datierungen einander widersprechen), so breitet sich ein Widerspruch in der Mathe- matik ungehindert und zerstörerisch aus, wei ® dann a ®® e Aussagen (und auch ihre Verneinungen) beweisbar sind. 1931 zerstörte der österreichische Mathematik Kurt Göde ® den ersten Tei ® von Hi ® berts Traum, indem er fo ® genden Satz bewies: Die Widerspruchsfreiheit der Mathematik kann in einem forma ® en System nicht bewiesen werden. Vo ®® ständigkeit 2) 3) Um den Begriff „Vo ®® ständigkeit“ eines forma ® en Systems zu verstehen, muss man zuerst den Unter- schied zwischen “beweisbar“ und „wahr“ k ® arer a ® s bisher herausarbeiten. Man betrachte das rechts beschriebene forma ® e System (das p-g-System). Man wendet ausgehend vom Axiom (der einzige Satz der anfangs da ist), zweima ® die Ab ® eitungsrege ® (AR) an: - p - g - - ​ AR  ¥ ​ - - p - g - - - ​ AR  ¥ ​ - - - p - g - - - - Das Ergebnis - - - p - g - - - - ist im p-g-System ein beweisbarer Satz , da er in diesem forma ® en System entsprechend der Ab ® eitungsrege ® richtig abge ® eitet wurde. Man kann diese Sätze rea ® itätsnah interpretieren. Interpretiert man die Anzah ® der Striche a ® s Zah ® , „ p“ a ® s „p ® us“ und „g“ a ® s „ist g ® eich“, so bekommen diese rein forma ® abge ® eiteten und bedeutungs ® osen Sätze eine Bedeutung für uns: „1 p ® us 1 ist g ® eich zwei“, „2 p ® us 1 ist g ® eich drei“, „3 p ® us 1 ist g ® eich 4“. Diese derart interpretierten Sätze sind a ®® esamt „wahr“ in dem Sinn, dass sie in unserer We ® t stimmen (z.B. drei Bücher und ein Buch ist g ® eich vier Bücher). Man kann erkennen, dass a ®® e (in unserer Rea ® ität) wahren Additionen der Zah ® 1 zu einer be ® iebigen Zah ® mit Hi ® fe des p-g Systems beweisbar sind. Es gibt aber in unserer Rea ® ität wahre Additionen, die im p-g-System nicht beweisbar (ab ® eitbar) sind. Zum Beispie ® die Addition 3 + 4 = 7. Das p-g-System ist a ® so unvo ®® ständig: Das heißt, nicht jeder wahre Satz kann auch bewiesen werden . Nun könnte man das p-g-System so erweitern, dass jede wahre Addition auch beweisbar ist. Das würde aber keine Vo ®® ständigkeit erzeugen. 1931 zerstörte Kurt Göde ® auch den zweiten Tei ® von Hi ® berts Traum. Er bewies den Satz: Jedes hinreichend starke forma ® e System, das widerspruchsfrei ist, ist unvo ®® ständig . Hinreichend stark bedeutet, dass man zumindest etwas über natür ® iche Zah ® en aussagen kann. In der Mathematik wird es keinem forma ® en System je ge ® ingen, a ®® e Wahrheiten zu beweisen. 2) Hier dient eine Auseinandersetzung mit den Vertiefungen auf S. 81 dem ® eichteren Verständnis. 3) Idee aus: Hofstadter, Doug ® as R. (1985): Göde ® , Escher, Bach, K ® ett-Cotta Das p-g-System – definierte Symbo ® e: p, g, - – einziges Axiom: „ - p - g - - “ – einzige Ab ® eitungsrege ® (AR): Wenn „x  p - g  x -“ein Satz ist, dann ist auch „x - p - g x - -“ ein Satz. x steht dabei für eine Anzah ® von Strichen. Ó Ver- tiefung Das erweiterte p-g System ei752y Aber: Wenn die Zah ® 1021 keine Primzah ® ist, dann existiere ich! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv