Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

120  einschub Ref ® exion: Göde ® s Unvo ®® ständigkeitssatz Schon seit der Antike haben Menschen versucht, die Mathematik auf ein sicheres Fundament zu ste ®® en. Dazu entwicke ® te man ein so genanntes forma ® es System aus Axiomen, Definitionen und Ab ® eitungsrege ® n, um a ®® e wahren mathematischen Sätze durch ® ogisches Sch ® ießen abzu ® eiten – a ® so zu beweisen. Die Rege ® n der Logik 1) so ®® ten dabei fo ® gerichtiges Denken gewähr ® eisten. Dennoch stieß man dabei immer wieder auf ein Di ® emma: Mit vie ® en forma ® en Systemen ® ießen sich eigenartige, unentscheidbare mathe­ matische Sätze, sogenannte Antinomien , ab ® eiten. Diese Antinomien waren oft von der Art, wie rechts dargeste ®® t. Über ® ege einma ® , ob die beiden Sätze auf der b ® auen und auf der grünen Karte fa ® sch oder richtig sind. Wahrschein ® ich wird es dir wie den meisten Menschen ergehen: Die beiden Sätze springen immer wieder zwischen Fa ® schsein und Wahrsein hin und her. Es ist unmög ® ich deren Wahrheit oder Fa ® schheit festzuste ®® en. Im Jahr 1900 träumte David Hi ® bert , der dama ® s einf ® ussreichste Mathematiker der We ® t, seinen Traum: A ®® e forschenden Mathematikerinnen und Mathematiker des 20. Jahr­ hunderts so ®® ten ein forma ® es System a ® s Grund ® age der gesamten Mathematik finden, das widerspruchsfrei ist und in dem Sinn vo ®® ständig ist, dass man innerha ® b des Systems a ®® e wahren Sätze ab ® eiten kann. Widerspruchsfreiheit In der k ® assischen Logik gi ® t der „Satz vom ausgesch ® ossenen Dritten“: Wenn eine mathematische Aussage wahr ist, dann ist die Verneinung dieser Aussage fa ® sch (siehe auch Lösungswege 6, Seite 153). Zum Beispie ® fo ® gt aus der Fa ® schheit der Aussage „Ein Hund ist ein Voge ® .“ die Richtigkeit der Verneinung dieser Aussage „Ein Hund ist nicht ein Voge ® .“ Ein forma ® es System ist genau dann widerspruchsfrei, wenn eine Aussage und deren Verneinung nicht beide abge ® eitet, a ® so bewiesen werden können. So ®® te es in einem mathematischen System mög ® ich sein, eine Aussage und ihre Vernei- nung zu beweisen, so führte dies zu einer mathematischen Katastrophe! Es wäre dann durch ® ogisches Sch ® ießen mög ® ich, von jedem (noch so fa ® schen) Satz zu zeigen, dass er wahr ist! An fo ® gendem Beispie ® wird gezeigt, wie man in einem so ® chen Fa ®® die Existenz von Einhörnern mit Hi ® fe der Logik beweisen kann. Der (rein ® ogische) Beweis, dass Einhörner existieren Eine k ® eine Anfangsüber ® egung zur Logik: Wenn in der Mathematik zwei Sätze mit dem Wort „oder“ verknüpft werden, so ist diese zusammengesetzte „oder“-Aussage genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind oder wenn auch nur eine der beiden Aussagen wahr ist. Zum Beispie ® : Der zusammengesetzte „oder“-Satz „x ist eine gerade Zah ® oder x ist durch drei tei ® bar“ ist für x = 9 wahr, wei ® der zweite Tei ® satz wahr ist (obwoh ® der erste Tei ® satz offensicht ® ich fa ® sch ist). Man kann auch umgekehrt vorgehen: Wenn man weiß, dass der zusammengesetzte „oder“-Satz „Ein Hund ist ein Voge ® oder Hi ® bert wurde in Königsberg geboren“ wahr ist, dann weiß man, dass Hi ® bert in Königsberg geboren wurde. Denn wenn der erste Tei ® satz fa ® sch ist, muss der zweite Tei ® satz wahr sein, damit der zusammengesetzte „oder“-Satz wahr ist. 1) Die Logik ist ein Tei ® gebiet der Mathematik Ätsch, Herr Hi ® bert! Der Satz auf der grünen Karte darunter ist fa ® sch! Der Satz auf der b ® auen Karte darüber ist richtig! Ó Ver- tiefung Wahrheits- tabe ®® e dv2w4f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv