Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

12 Stammfunktionen 1 23. Gib an, ob fo ® gende Aussage stimmt und begründe die Entscheidung. a) Jede Stammfunktion einer ® inearen Funktion ist eine ® ineare Funktion. b) Jede Stammfunktion einer konstanten Funktion f mit f(x) = c (c * R \{0}) ist ® inear. c) Jede Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = 0 ist konstant. d) Jede Stammfunktion einer Potenzfunktion ist eine Potenzfunktion. e) Jede Stammfunktion einer Potenzfunktion mit positiven Exponenten ist eine Potenzfunktion. f) Jede Stammfunktion einer rationa ® en Funktion ist eine rationa ® e Funktion. 24. Gegeben sind zwei Funktionen f und g, zwei Stammfunktionen F und G (von f und g) sowie eine positive ree ®® e Zah ® k. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A F – G ist eine Stammfunktion von f – g.  B k · F ist eine Stammfunktion von k · f.  C G ist eine Stammfunktion von g + k.  D G· F ist eine Stammfunktion von g · f.  E k · F(x) ist eine Stammfunktion von f(k · x).  Auffinden einer spezie ®® en Stammfunktion 25. Die Geschwindigkeit eines Rennwagens bei einem Rennen ® ässt sich durch die Funktion v mit v(t) = 0,5 t 2 (v in m/s, t in Sekunden) beschreiben. Beim Start befindet sich der Wagen 10m hinter der Start ® inie. Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, wenn die Start ® inie a ® s Bezugspunkt angenommen wird. Um eine Zeit-Ort-Funktion zu erha ® ten, muss eine Stammfunktion von v bestimmt werden. Diese erhä ® t man mitte ® s Integration. Es gi ® t: s(t) = :    (0,5 t 2 )dt =   0,5 t 3 _ 3  + c Um die zutreffende Stammfunktion zu finden, wird die Bedingung s(0) = ‒10 (da sich der Wagen zu Beginn 10m hinter der Start ® inie befindet) verwendet. Dadurch kann der Parameter c bestimmt werden: s(0) = c = ‒10 w s(t) =   0,5 t 3 _ 3  – 10 26. Die Geschwindigkeit eines Rennwagens bei einem Rennen ® ässt sich durch die Funktion v (v in m/s, t in Sekunden) beschreiben. Beim Start befindet sich der Wagen a Meter hinter der Start ® inie. Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, wenn die Start ® inie a ® s Bezugspunkt (s = 0) angenommen wird. a) v(t) = 10 t; a = 12 b) v(t) = 0,4 t 2 + 3 t; a = 15 c) v(t) = 0,7t 2 ; a = 5 27. Bestimme jene Stammfunktion F von f, we ® che die angegebene Bedingung erfü ®® t. a) f(x) = ‒ x – 5; F(‒ 3) = 1 d) f(x) = ‒ 0,34 · e ‒2x ; F(0) = 15 b) f(x) = ‒ x 2 + 3 x – 2; F(3) = 2 e) f(x) = 0,12 · e 3x ; F(0) = 4 c) f(x) = ‒ 2x 2 + x – 1; F(0) = 4 f) f(x) = 3 · sin(4 x); F( π ) = 0 28. Gegeben ist eine Zeit-Besch ® eunigungsfunktion a (t in Sekunden, a in m/s 2 ). Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, we ® che die gegebenen Bedingungen erfü ®® t. a) a(t) = 5; v(1) = 5; s(0) = 12 b) a(t) = 5 t + 1; v(1) = 12; s(3) = 60 AN 4.2 muster Ó Arbeitsb ® att Weg – Geschwindigkeit – Besch ® eunigung r4g2ds Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv