Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

118 Stetige Zufallsvariablen 5 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 335. Vie ® en Bereichen in unserem A ®® tag wird zur besseren P ® anung ein mathematisches Mode ®® zugrunde ge ® egt. Eine häufige Tätigkeit in unserem A ®® tag ist Warten. Wir warten am Te ® efon in der Wartesch ® eife, beim Arzt, auf den Bus … Die Zufa ®® svariab ® e X bezeichnet die Wartezeit (in Minuten) auf den nächsten Bus. Die Vertei ® ungsfunktion von X ist F mit F(x) = ​  x – a _ b – a ​mit a, b * ​ ℝ ​ + ​. a) Zeige, dass die minima ® e Wartezeit a Minuten und die maxima ® e Wartezeit b Minuten beträgt. b) Berechne die Dichtefunktion von X für die Parameter a = 1 und b = 9. c) Die stetige Zufa ®® svariab ® e X heißt g ® eichvertei ® t, wenn sie eine Dichtefunktion f mit f(x) = ​ {  ​   0; x < a    ​  1 _  b – a ​ ; a ª X ª b    0; x > b ​ ​ ​ ; a, b * ℝ und a < b besitzt. Zeige, dass der Erwartungswert einer g ® eichvertei ® ten Zufa ®® svariab ® en immer der Mitte ® punkt des Interva ®® s [a;b] ist. 336. Die Zufriedenheit von Nutzern e ® ektronischer Geräte hängt sehr von deren Lebensdauer ab. Diese wiederum ist an die Lebensdauer ihrer e ® ektronischen Bautei ® e gebunden. Die Zufa ®® svariab ® e X ist die Lebensdauer eines e ® ektronischen Bautei ® s. Die Dichtefunktion von X ist f mit f(x) = ​  (x – 3) 2 _ 9  ​und die Vertei ® ungsfunktion von X ist F mit F(x) = ​  1 _  27 ​x 3 – ​  1 _ 3 ​x 2 + x im Interva ®® [0; 3]. a) Zeige, dass für f außerha ® b des Interva ®® s [0; 3] ge ® ten muss: f(x) = 0. b) Der Modus einer Zufa ®® svariab ® en ist der Maxima ® wert der Dichtefunktion. Bestimme den Modus von X. c) Das Perzenti ® ​x​ P ​einer Zufa ®® svariab ® en bezeichnet jene Ste ®® e der Vertei ® ungsfunktion, an der diese den Wert P erreicht. Bestimme das Perzenti ® ​x​ 0,9 ​von X. d) Skizziere den Graphen von f und zeichne den Wert von a, für den gi ® t P(X < a) = 0,5, in diesen ein. 337. Die Absatzmenge eines Produktes hängt nicht nur vom Preis ab, sondern auch von zufä ®® igen Faktoren. So z. B. wird der Absatz von Speiseeis vom Wetter, der Verkauf von Schipässen von der Schneehöhe beeinf ® usst. Die Zufa ®® svariab ® e X ist die Absatzmenge X eines Produktes (in tausend Stück). Der Verkaufspreis beträgt 10€ pro Stück. Die Dichtefunktion von X ist f mit f(x) = ​ {  ​  0; x < 0     0,0012 ​x​ 3 ​– 0,024 ​x​ 2 ​+ 0,12 x; 0 ª x ª 10 0; x > 10   ​ . ​ ​ a) Bestimme die Wahrschein ® ichkeit, dass mehr a ® s 4000 Stück verkauft werden. b) Bestimme den Erwartungswert des Er ® öses, den man beim Verkauf dieses Produktes erzie ® t. c) Bestimme das Maximum von f und zeige, dass F an dieser Ste ®® e die größte Steigung besitzt. Typ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv