Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch
117 Stetige Zufallsvariablen | Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen 333. Die Zufa ®® svariab ® e X besitzt die Dichtefunktion f. 1) Bestimme den Erwartungswert von X. 2) Bestimme die Standardabweichung von X. 3) Bestimme die Wahrschein ® ichkeit P( μ – σ ª X ª μ + σ ). a) f(x) = { 0; x < ‒ 2 3 _ 32 (4 – x 2 ); ‒ 2 ª x ª 2 0; x > 2 b) f(x) = { 0; x < 0 0,5 · e ‒0,5x ; x º 0 334. Bei einer Bergbahn kommt a ®® e zehn Minuten eine Gonde ® . Die Zufa ®® svariab ® e X ist die Wartezeit bis zum Eintreffen der nächsten Gonde ® . X besitzt die Dichtefunktion f mit f(x) = { 0; x < 0 1 _ 10 ; 0 ª X ª 10 0; x > 10 . 1) Bestimme den Erwartungswert von X und interpretiere diesen. 2) Bestimme die Standardabweichung von X. 3) Bestimme die Wahrschein ® ichkeit P( μ – σ ª X ª μ + σ ) und interpretiere den erha ® tenen Wert. Die (Wahrschein ® ichkeits-) Dichtefunktion f einer stetigen Zufa ®® svariab ® en X f hat fo ® gende Eigenschaften: 1) f(x) º 0; x * ℝ 2) : ‒ • • f(x) dx = 1 Ist f(x) eine Dichtefunktion von X so gi ® t: P(a ª X ª b) = : a b f(x)dx P(X = a) = 0 Die Vertei ® ungsfunktion F einer stetigen Zufa ®® svariab ® en X F hat fo ® gende Eigenschaften: 1) F(a) = P(X ª a) = : ‒ • a f(x)dx 2) F(b) – F(a) = P(a ª X ª b) = : a b f(x)dx f …Dichtefunktion von X 3) F steigt monoton bis auf den maxima ® en Wert 1 an. Erwartungswert μ und Varianz σ 2 einer stetigen Zufa ®® svariab ® en E(X) = μ = : ‒ • • x · f(x)dx V(x) = σ 2 = : ‒ • • (x – μ ) 2 · f(x)dx σ ist die Standardabweichung von X. Ó Arbeitsb ® att Erwartungswert und Varianz berechnen 7w28hv zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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