Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

117 Stetige Zufallsvariablen |  Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen 333. Die Zufa ®® svariab ® e X besitzt die Dichtefunktion f. 1) Bestimme den Erwartungswert von X. 2) Bestimme die Standardabweichung von X. 3) Bestimme die Wahrschein ® ichkeit P( μ – σ ª X ª μ + σ ). a) f(x) = ​ {  ​      0; x < ‒ 2  3 _  32 ​(4 – ​x​ 2 ​); ‒ 2 ª x ª 2       0; x > 2 ​ ​ b) f(x) = ​ {  ​       0; x < 0 0,5 · ​e​ ‒0,5x​ ​; x º 0 ​ ​ 334. Bei einer Bergbahn kommt a ®® e zehn Minuten eine Gonde ® . Die Zufa ®® svariab ® e X ist die Wartezeit bis zum Eintreffen der nächsten Gonde ® . X besitzt die Dichtefunktion f mit f(x) = ​ {  ​   0; x < 0   1 _  10 ​ ; 0 ª X ª 10   0; x > 10 ​ ​  . 1) Bestimme den Erwartungswert von X und interpretiere diesen. 2) Bestimme die Standardabweichung von X. 3) Bestimme die Wahrschein ® ichkeit P( μ – σ ª X ª μ + σ ) und interpretiere den erha ® tenen Wert. Die (Wahrschein ® ichkeits-) Dichtefunktion f einer stetigen Zufa ®® svariab ® en X f hat fo ® gende Eigenschaften: 1) f(x) º 0; x * ℝ 2) ​  :  ‒ • ​  • ​   f(x) ​dx = 1 Ist f(x) eine Dichtefunktion von X so gi ® t: P(a ª X ª b) = ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx P(X = a) = 0 Die Vertei ® ungsfunktion F einer stetigen Zufa ®® svariab ® en X F hat fo ® gende Eigenschaften: 1) F(a) = P(X ª a) = ​ :  ‒ • ​  a ​ f(x)​dx 2) F(b) – F(a) = P(a ª X ª b) = ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx f …Dichtefunktion von X 3) F steigt monoton bis auf den maxima ® en Wert 1 an. Erwartungswert μ und Varianz ​ σ ​ 2 ​einer stetigen Zufa ®® svariab ® en E(X) = μ = ​  :  ‒ • ​  • ​    x · f(x)​dx V(x) = ​ σ ​ 2 ​= ​  :  ‒ • ​  • ​    (x – μ ) 2  · f(x)​dx  σ ist die Standardabweichung von X. Ó Arbeitsb ® att Erwartungswert und Varianz berechnen 7w28hv zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv