Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke Merke 116 kompe- tenzen 5.2 Erwartungswert, Varianz und Standard abweichung einer stetigen Zufa ®® svariab ® en Lernzie ® : º º Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufa ®® svariab ® en berechnen und interpretieren können Die Definitionen für Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufa ®® svariab ® en sind: X ist eine diskrete Zufa ®® svariab ® e, die die Werte x i (i = 1, 2, 3, 4, …) annimmt, mit der Wahrschein ® ichkeitsfunktion f(x i ) = P(X = x i ). Erwartungswert der Zufa ®® svariab ® en X E(X) = μ = x 1 · f(x 1 ) + x 2 · f(x 2 ) + x 3 · f(x 3 ) + … Varianz der Zufa ®® svariab ® en X V(X) = σ 2 = (x 1 – μ ) 2 · f(x 1 ) + (x 2 – μ ) 2 · f(x 2 ) + (x 3 – μ ) 2 · f(x 3 ) + … 331. Die Zufa ®® svariab ® e X bezeichnet die Augensumme bei einem Wurf mit 2 Würfe ® n. Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. Ana ® og zu diskreten Zufa ®® svariab ® en definiert man Dichtefunktionen f für stetige Zufa ®® s variab ® en. Aus den Summen im diskreten Fa ®® werden Integra ® e im stetigen Fa ®® . Erwartungswert μ einer stetigen Zufa ®® svariab ® en E(X) = μ =   :  ‒ •   •   x · f(x) dx Varianz σ 2 und Standardabweichung σ einer stetigen Zufa ®® svariab ® en V(x) = σ 2 =   :  ‒ •   •     (x – μ ) 2 · f(x) dx σ = 9 _ V… Standardabweichung 332. Die Zufa ®® svariab ® e X besitzt die Dichtefunktion f mit f(x) = {      0; x < 0    x; 0 ª x ª 1   ‒ x + 2; 1 < x ª 2 0; x > 2    . a) Bestimme den Erwartungswert von X. b) Bestimme die Standardabweichung von X. Die entsprechenden Integra ® e werden für jeden Definitionsbereich einze ® n berechnet. a) E(X) = μ = :  ‒ •   0 x · f(x)dx + :  0   1 x · f(x)dx + :  1   2 x · f(x)dx + :  2   • x · f(x)dx = Techno ® ogie = :  ‒ •   0 x · 0dx + :  0   1 x · xdx + :  1   2 x · (‒ x + 2)dx + :  2   • x · 0dx = ¥ = 1 b) V(x) = σ 2 =   :  ‒ •   0   (x – 1) 2 · 0dx + :  0   1 (x – 1) 2 · xdx + :  1   2 (x – 1) 2 · (‒ x + 2)dx + Techno ® ogie + :  2   • (x – 1) 2 · 0dx = ¥ =   1 _ 6 w σ = 9 _   1 _ 6  ≈ 0,41 vorwissen Ó Arbeitsb ® att Erwartungswert und Varianz bestimmen m6m9kj muster Ó Techno ® ogie An ® eitung μ und σ von stetigen Zufa ®® svariab ® en bestimmen w8s9ed x f(x) 1 2 1 – 1 0 f Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv