Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 114 Stetige Zufallsvariablen 5 321. Die stetige Zufa ®® svariab ® e X gibt die Kosten in Mi ®® ionen Euro an, die man wahrschein ® ich für ein gep ® antes Projekt ausgeben wird. X besitzt die Dichtefunktion f. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Mit 50% Wahrschein ® ichkeit wird das Projekt 3 Mio. Euro kosten.  B Mit 75% Wahrschein ® ichkeit wird das Projekt mehr a ® s 3,5 Mio. Euro kosten.  C Mit 25% Wahrschein ® ichkeit wird das Projekt höchstens 2,5 Mio. Euro kosten.  D Das Projekt wird sicher weniger a ® s 4 Mio. Euro kosten.  E Am wahrschein ® ichsten sind die Kosten von 4 Mio. Euro.  Die Vertei ® ungsfunktion einer stetigen Zufa ®® svariab ® en Die Vertei ® ungsfunktion F für eine stetige Zufa ®® svariab ® e X wird ana ® og zur Vertei ® ungs funktion für diskrete Zufa ®® svariab ® en definiert. F(a) gibt die Wahrschein ® ichkeit an, dass die Zufa ®® svariab ® e einen Wert k ® einer oder g ® eich a annimmt: F(a) = P(X ª a). Die Vertei ® ungsfunktion einer stetigen Zufa ®® svariab ® en X Die Funktion F heißt Vertei ® ungsfunktion der Zufa ®® svariab ® en X mit der Dichtefunktion f, wenn sie fo ® gende Eigenschaften aufweist: 1) F(a) = P(X ª a) = :  ‒ •   a f(x) dx 2) F(b) – F(a) = P(a ª X ª b) = :  a   b f(x)dx 3) F steigt monoton bis auf den maxima ® en Wert 1 an. F ist Stammfunktion von f: :    f(x)dx = F(x) + c und F’(x) = f(x) 322. Zeichne zur Dichtefunktion f mit f(x) = {  0; x < 1 1 _ x ; 1 ª x ª e  0; x > e den Graphen der Vertei ® ungsfunktion. Da die Vertei ® ungsfunktion die Stammfunktion von f ist, gi ® t: F(x) = :    2   1 _ x   3 dx = ® n(x) + c Um die Konstante c zu berechnen, nutzt man die Eigenschaft, dass F an der Ste ®® e e g ® eich 1 sein muss: F(e) = ® n(e) + c = 1 w c = 0 w F(x) = ® n(x) 323. Zeichne zur gegebenen Dichtefunktion f den Graphen der Vertei ® ungsfunktion F. a) f(x) = {  0; x < 1   0,1; 1 ª x ª 11  0; x > 11   b) f(x) = {    0; x < 0    0,5 x; 0 ª x ª 2    0; x > 2 c) f(x) = {    0; x < 0    sin(x); 0 ª x ª   π _  2 0; x >   π _ 2 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 f x f(x) a b 0 f F(b) – F(a) x f(x) a b 0 f F(a) x f(x) a b 0 f F(b) muster x f(x), F(x) 1 2 3 4 1 0 f F e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv