Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 112 Stetige Zufallsvariablen 5 Man beachte, dass a ®® e Histogramme die Ba ® kenhöhe ​  1 _ 6 ​haben, dieser Wert aber nicht mehr in a ®® en Histogrammen den Wahrschein ® ichkeiten für die Werte der Zufa ®® svariab ® en entspricht. Bei der Untertei ® ung des Interva ®® s in unend ® ich vie ® e Boxen (stetige Zufa ®® svariab ® e), kann man sich das Histogramm a ® s eine Aneinanderreihung von unend ® ich vie ® en Strichen mit der Höhe ​  1 _ 6 ​vorste ®® en. Diese Vorste ®® ung ist in der Abbi ® dung veranschau ® icht. Aus diesem Diagramm kann man zwar nicht die Wahrschein ® ichkeit für den Wert einer einze ® nen Zufa ®® svariab ® en, a ®® erdings aber für ein Interva ®® der Zufa ®® svariab ® en bestimmen. Es entspricht dem F ® ächeninha ® t des Histogramms in diesem Interva ®® . P(4 ª X ª 6) = 2 · ​  1 _ 6 ​= ​  2 _ 6 ​≈ 0,33 Da der Gesamtf ® ächeninha ® t des Histogramms die Gesamtwahrschein ® ichkeit darste ®® t, muss er 1 betragen. Bei stetigen Zufa ®® svariab ® en ist es a ® so nicht sinnvo ®® , die Wahrschein ® ichkeit für einen einze ® nen Wert der Zufa ®® svariab ® en anzugeben. A ®® erdings kann man die Wahrschein ® ichkeit für Interva ®® e der Zufa ®® svariab ® en a ® s F ® ächeninha ® t unter dem Graphen einer Funktion f, die man (Wahrschein ® ichkeits-) Dichtefunktion nennt, bestimmen. Für die stetige Zufa ®® svariab ® e aus Gedankenexperiment 4 ® autet die G ® eichung der Dichtefunktion im Interva ®® [0,5; 6,5]: f(x) = ​  1 _ 6 ​ . Außerha ® b dieses Interva ®® s ist f(x) = 0. Die (Wahrschein ® ichkeits-) Dichtefunktion Die Funktion f heißt (Wahrschein ® ichkeits-) Dichtefunktion einer Zufa ®® svariab ® en X, wenn sie fo ® gende Eigenschaften aufweist:  1) f(x) º 0; für a ®® e x * ℝ 2)  ​  :  ‒ • ​  • ​   f(x) dx​= 1  Beachte: –– f(a) entspricht nicht der Wahrschein ® ichkeit P(X = a). –– P(a ª X ª b) = ​ :  a ​  b ​ f(x) dx​ –– Die Wahrschein ® ichkeit, dass die Zufa ®® svariab ® e einen Wert im Interva ®® [a; b] annimmt, entspricht dem F ® ächeninha ® t zwischen dem Graphen von f und der x-Achse in [a; b]. –– Da P(X = a) = P(a ª X ª a) = ​ :  a ​  a ​ f(x) dx​= 0 gi ® t, ist die Wahrschein ® ichkeit, dass X einen bestimmten Wert a annimmt g ® eich 0. Daher gi ® t auch: P(a ª X ª b) = P(a < X < b). 315. Zeichne den Graphen von f und zeige, dass die Funktion f die Dichtefunktion einer Zufa ®® svariab ® en X sein kann. f(x) = ​ {  0,5 ​  0; x < 2    x – 1; 2 ª x ª 4 0; x > 4 ​ ​ ​ Untersuchung der Eigenschaften von f: 1) f(x) º 0 für x * ℝ und 2) ​  :  ‒ • ​  • ​   f(x) dx​= ​  2 ·1 _ 2  ​= 1 (Inha ® t der Dreiecksf ® äche unter f)  w  f ist eine Dichtefunktion. 1 2 3 4 5 6 7 1_ 6 0 f(x) = 1_ 6 muster x f(x) 1 2 3 4 – 1 1 2 – 1 0 f Ó Techno ® ogie An ® eitung Abschnittsweise Funktionen th7ri7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv