Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

111 Stetige Zufallsvariablen | Dichte- und Verteilungsfunktionen Anhand dieser Gedankenexperimente erkennt man deut ® ich, dass man für einze ® ne Werte einer stetigen Zufa ®® svariab ® en keine Wahrschein ® ichkeit angeben kann. Am ehesten könnte man vermuten, dass die Wahrschein ® ichkeit, dass die Kuge ® genau auf die Zah ® 5 fä ®® t, nu ®® beträgt. 313. 1) Ein fairer 6-, 12-, 100-seitiger Spie ® würfe ® wird geworfen. Die Zufa ®® svariab ® e X bezeichnet die gewürfe ® te Augenzah ® . Bestimme jewei ® s P(X = 6). 2) Ein unend ® ich-seitiger Spie ® würfe ® wird geworfen. (Wie sieht dieser „Würfe ® “ aus?) Beschreibe die Schwierigkeiten P(X = 6) zu bestimmen. 314. 1) Ein G ® ücksrad wird in 10, 100, 1 000 durchnummerierte g ® eich große Sektoren getei ® t. Bestimme jewei ® s die Wahrschein ® ichkeit, dass beim einma ® igen Drehen des G ® ücksrades der Sektor mit der Zah ® 1 angezeigt wird. 2) Drehe in einem Gedankenexperiment ein G ® ücksrad mit zwei Metern Umfang, an dessen Rand ein Maßband mit zwei Metern Länge angebracht ist. X bezeichnet die Zah ® (in Meter), die beim einma ® igen Drehen am Maßband angezeigt wird. Beschreibe die Schwierigkeit, die Wahrschein ® ichkeit P(X = 1) zu bestimmen. Das Prob ® em bei stetigen Zufa ®® svariab ® en besteht darin, dass man einze ® nen Werten der Variab ® en keine Wahrschein ® ichkeit zuordnen kann. Die Lösung für dieses Prob ® em erkennt man, wenn man Histogramme der Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung für die Gedankenexperi- mente 1 bis 3 aus Seite 110 anfertigt, in denen die F ® ächeninha ® te der Säu ® en den Wahrschein ® ichkeiten entsprechen. Mit den Histogrammen wird dann die Wahrschein ® ichkeit für ein Interva ®® der Zufa ®® svariab ® en X (z. B. P(4 ª X ª 6)) berechnet und veranschau ® icht. Gedankenexperiment 1 1 1_ 6 0 2 3 4 5 6 7 P(x = 5) = 1 ·   1 _ 6 =   1 _ 6 = 0,1667 Gedankenexperiment 2 1 1_ 6 0 2 3 4 5 6 7 P(x = 5) =   1 _ 3 ·   1 _ 6 =   1 _  18 = 0,0556 Gedankenexperiment 3 1 1_ 6 0 2 3 4 5 6 7 P(x = 5) =   1 _  27 ·   1 _ 6 =   1 _  162 = 0,0062 Da die Zufa ®® svariab ® e sechs Werte annehmen kann, besteht das Histogramm aus sechs Säu ® en. Da jede Säu ® e die Breite 1 hat, muss die Höhe jeder Säu ® e   1 _ 6 betragen, sodass der F ® ächeninha ® t jeder Säu ® e der Wahrschein ® ichkeit 2    1 _ 6   3 entspricht. Da die Zufa ®® svariab ® e 18 Werte annehmen kann, besteht das Histogramm aus 18 Säu ® en. Da jede Säu ® e die Breite   6 _  18 =   1 _ 3 hat, muss die Höhe jeder Säu ® e   1 _ 6 betragen, sodass der F ® ächeninha ® t der Säu ® e der Wahrschein ® ichkeit 2    1 _  18   3 entspricht. Da die Zufa ®® svariab ® e 162 Werte annehmen kann, besteht das Histogramm aus 162 Säu ® en. Da jede Säu ® e die Breite   6 _  162 =   1 _  27 hat, muss die Höhe jeder Säu ® e   1 _ 6 betragen, sodass der F ® ächeninha ® t der Säu ® e der Wahrschein ® ichkeit 2    1 _  162   3 entspricht. P(4 ª X ª 6) = 3 ·   1 _ 6 =   3 _ 6 Die Summe der F ® ächeninha ® te dieser drei Ba ® ken von X = 4 bis X = 6 entspricht dieser Wahrschein ® ichkeit. P(4 ª X ª 6) = 7·   1 _  18 =   7 _  18 (3 · 2 + 1 = 7 Ba ® ken) Die Summe der F ® ächeninha ® te dieser sieben Ba ® ken von X = 4 bis X = 6 entspricht dieser Wahrschein ® ichkeit. P(4 ª X ª 6) = 55 ·   1 _  162 (27· 2 + 1 = 55 Ba ® ken) Die Summe der F ® ächeninha ® te dieser 55 Ba ® ken von X = 4 bis X = 6 entspricht dieser Wahrschein ® ichkeit. 6 Ó Arbeitsb ® att G ® ücksrad, Urne 59ui2r Ó Techno ® ogie Darste ®® ung Grenzübergang 79w8ev Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv