Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

104 Dynamische Systeme 4 292. Interpretiere die F ® ussraten des Diagramms im Hinb ® ick auf die unterschied ® ichen Wachstums- bzw. Abnahmemode ®® e und gib das jewei ® ige mathematische Mode ®® an. a) b) 293. Gib das mathematische Mode ®® an und ste ®® e den Sachverha ® t durch ein F ® ussdiagramm dar. a) Eine Schafherde vergrößert sich durch Zukauf von Tieren monat ® ich um v Tiere. b) Eine Hasenpopu ® ation vergrößert sich ha ® bjähr ® ich um p% des aktue ®® en Bestandes und nimmt im g ® eichen Zeitraum um q% des aktue ®® en Bestandes ab. c) Eine Hasenpopu ® ation, der nur eine bestimmte freie Weidef ® äche zur Verfügung steht, wächst wöchent ® ich um den Faktor k des aktue ®® en Bestandes. 294. Erste ®® e zu den Aufgaben 271, 274, 279 und 281 ein passendes F ® ussdiagramm. Lineare Differenzeng ® eichung: ​y​ n + 1 ​= a · ​y​ n ​+ b (a ≠ 0) ​y​ n ​… Bestand einer Größe nach n Zeiteinheiten; ​y​ 0 ​… Anfangswert Diskrete Wachstumsmode ®® e und Abnahmemode ®® e Lineares Mode ®® : y n + 1 = y n + b; abso ® ute Änderung ist konstant: y n + 1 – y n = b; exp ® izite Darste ®® ung: y n = y 0 + n · b mit n * ℕ Exponentie ®® es Mode ®® : y n + 1 = a · y n  ; exp ® izite Darste ®® ung: ​y​ n ​= y 0  · ​a​ n ​mit n * ℕ a > 1 … exponentie ®® e Zunahme; 0 < a < 1 … exponentie ®® e Abnahme Beschränktes Mode ®® : ​ y​ n + 1 ​– ​y​ n ​= k · (W – ​y​ n ​) mit W = ​  b _  1 – a  ​und k = 1 – a, 0 < a < 1 und b > 0; W … Wachstumsgrenze; W – ​y​ n ​… Freiraum abso ® ute Änderung (y n + 1 – y n ) ist direkt proportiona ® zu W – ​y​ n ​ Kontinuier ® iche Wachstumsmode ®® e und Abnahmemode ®® e mit dem aktue ®® en Bestand y Lineares Mode ®® : y’(t) = k  É  y(t) = k · t + y 0 mit t * ​ ℝ ​ 0 ​  + Exponentie ®® es Mode ®® : y’(t) = m· y(t)  É  y(t) = y 0  · e m·t Beschränktes Mode ®® : y’(t) = m· (W – y(t))  É  y(t) = W – (W – y 0 ) · e ‒m·t Logistisches Mode ®® : y’(t) = m· y(t) · (W – y(t))  É  y(t) = ​  ​y​ 0 ​·W ___   ​y​ 0 ​+ (W – ​y​ 0 ​)· ​e​ ‒W·m·t ​ ​ Dynamische Prozesse können qua ® itativ durch Wirkungsdiagramme und quantitativ durch F ® ussdiagramme beschrieben werden. Mit F ® ussdiagrammen ® assen sich Wachstumsmode ®® e graphisch veranschau ® ichen. Pflanzenhöhe Wachstum Freiraum Wachstums- faktor Wachstums- grenze Zunahme Wachstumsrate Abbaurate Giftmenge Abbau Ó Arbeitsb ® att F ® ussdiagramme interpretieren und aufste ®® en 822v7v zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv