Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

103 Dynamische Systeme |  Wirkungsdiagramme und Flussdiagramme 289. Erste ®® e ein F ® ussdiagramm für die Änderung einer Popu ® ation P durch Geburten g und Sterbefä ®® e s, die pro Zeitabschnitt direkt proportiona ® zur Popu ® ation sind. 290. Erste ®® e ein F ® ussdiagramm für die Änderung eines Kapita ® s K, das zu einem g ® eichb ® eibenden Jahreszinssatz p 1 verzinst wird, wenn jähr ® ich a Euro des Kapita ® s abgehoben werden. F ® ussdiagramme zum Beschreiben von Wachstums- bzw. Abnahmemode ®® en Die charakteristischen Eigenschaften der in Kapite ® 4.1 besprochenen Wachstums- bzw. Abnahmemode ®® e in Form der Differenzeng ® eichung y n + 1 = a · y n + b ® assen sich durch F ® ussdiagramme veranschau ® ichen. Ergänzend so ®® auch das ® ogistische Wachstumsmode ®® erwähnt werden. Lineares Wachstumsmode ®® : Zum Beispie ® vermehrt sich eine Tierpopu ® ation in g ® eichen Zeitabschnitten immer um dense ® ben Wert. Mathematisches Mode ®® : y n + 1 = y n + b Der Zuwachs b wird von keinen anderen Größen beeinf ® usst und ist daher konstant. Exponentie ®® es Wachstumsmode ®® : Die re ® ative Änderung (z. B. der Bevö ® kerung eines Landes) ist in g ® eichen Zeitab- schnitten konstant. Mathematisches Mode ®® : y n + 1 = y n + (a – 1) · y n Auf den Zuwachs (a – 1) · y n wirken die Wachstumsrate (a – 1) und der aktue ®® e Bestand y n . Beschränktes Wachstumsmode ®® : Die Änderung einer Bestandsgröße in g ® eichen Zeitabschnitten ist direkt proportiona ® zum momentan vorhandenen Freiraum. Der aktue ®® e Bestand, die Wachstumsgrenze und die Wachs- tumsrate wirken auf den Zuwachs. Mathematisches Mode ®® : y n + 1 = y n + (1 – a) · (W – y n ) mit W = ​  b _  1 – a ​ . Der Zuwachs (1 – a) · (W – y n ) wird vom Freiraum (W – y n ) und der Wachstumsrate (1 – a) beeinf ® usst. Logistisches Wachstumsmode ®® : Die Änderung einer Bestandsgröße ist in g ® eichen Zeitabschnitten direkt proportiona ® zum momentan vorhandenen Freiraum und zum momentanen Bestand. Mathematisches Mode ®® : y n + 1 = y n + (1 – a) · y n  · (W – y n ) mit W = ​  b _  1 – a ​ . Der Zuwachs (1 – a) · y n  · (W – y n ) wird vom Freiraum (W – y n ), der Wachstumsrate (1 – a) und dem aktue ®® en Bestand y n beeinf ® usst. 291. Interpretiere die F ® ussraten des Diagramms im Hinb ® ick auf die unterschied ® ichen Wachstums- bzw. Abnahmemode ®® e und gib das jewei ® ige mathematische Mode ®® an. a) b) Population Zuwachs Bevölkerung Zuwachs Wachstumsrate Bestand Zuwachs Wachstums- rate Wachstums- grenze Bestand Zuwachs Freiraum Wachstums- rate Wachstums- grenze Zufluss Wasserpegel Abfluss Zunahme Änderungsfaktor Fischbestand Abfischen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv