Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 10 Stammfunktionen 1 9. Gib eine Stammfunktion von f an. a) f(x) = ‒ 3 c) f(x) = x 4 e) f(x) = x ‒133 g) f(x) = x 25 b) f(x) = ‒12 d) f(x) = x ‒12 f) f(x) = x 23 h) f(x) = x 10. Berechne und kontro ®® iere durch Differenzieren. a) :    x   2 _ 5 dx c) :    x ‒   2 _ 3 dx e) :    x   1 _  6 dx g) :    x ‒1 dx b) :    x   3 _ 4 dx d) :    x ‒   4 _ 5 dx f) :    x   ‒2 _ 5  dx h) :    x   13 _ 9  dx Weitere Integrationsrege ® n In Lösungswege 7 wurden für das Differenzieren die Summen- und Differenzenrege ® sowie die Rege ® vom konstanten Faktor und die Konstantenrege ® eingeführt. Entsprechende Rege ® n gibt es auch in der Integra ® rechnung. Weitere Integrationsrege ® n Gegeben sind zwei Funktionen f und g und zwei Stammfunktionen F und G (von f und g), k sei eine ree ®® e Zah ® (≠ 0). Es ge ® ten fo ® gende Rege ® n: Summen- und Differenzenrege ® :    (f(x) ± g(x))dx = :    f(x) dx ± :    g(x)dx = F(x) ± G(x) Rege ® vom konstanten Faktor :    k · f(x)dx = k · :    f(x)dx = k · F(x) Konstantenrege ® :    f(k · x)dx =   1 _ k · F(k · x) Beweis der Summen- und Differenzenrege ® : Diese Rege ® wird durch Differenzieren bewiesen: (F ± G)’ = F’ ± G’ = f ± g Die anderen beiden Rege ® n sind Thema in Aufgabe 15. 11. Berechne eine Stammfunktion von f mit f(x) = ‒ 3x 3 + 2x 2 – 5 x und erk ® äre, we ® che Rege ® n verwendet wurden. Um diese Funktion zu integrieren, werden die Summenrege ® , die Differenzenrege ® und die Rege ® vom konstanten Faktor verwendet: Summenrege ® , Rege ® vom konstanten Differenzenrege ® Faktor F(x) = :    (‒ 3 x 3 + 2 x 2 – 5 x)dx = :    ‒ 3 x 3 dx + :    2 x 2 dx – :    5 xdx = ‒ 3 · :    x 3 dx + 2 · :    x 2 dx – 5 · :    xdx =   ‒ 3 x 4 _ 4  +   2 x 3 _ 3  –   5 x 2 _  2  + c 12. Berechne drei verschiedene Stammfunktionen von f und erk ® äre, we ® che Rege ® n verwendet wurden. Überprüfe die Rechnung mitte ® s Differenzieren. a) f(x) = x 4 + x 3 + 4 d) f(x) = ‒   6 _ 5 x 6 +   4 _ 3 x 4 – 2 x + 3 b) f(x) = x 4 – x 2 – x – 1 e) f(x) = 2x 5 + 3x 4 – 2 x + 15 c) f(x) = ‒   2 _ 3 x 3 +   1 _ 5 x 5 + x f) f(x) = ‒   7 _ 3 x 7 +   1 _ 5 x 4 –   2 _ 3 x 13. Berechne eine Stammfunktion von f und erk ® äre, we ® che Rege ® n verwendet wurden. a) f(x) = ‒12x ‒3 + 2x ‒1 – 5 c) f(x) = ‒ x ‒5 + 2x ‒4 – 2 x b) f(x) = 2x   1 _ 2 + 2x ‒1 – 5 d) f(x) = ‒7x ‒   1 _ 3 + 2x   ‒2 _ 5  – x muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv