Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 97 kompe- tenzen 4.1 Kreisg ® eichungen Lernzie ® e: º Aus dem Mitte ® punkt und dem Radius eines Kreises, dessen G ® eichung bestimmen können º Kreisg ® eichungen in Koordinatenform und a ®® gemeiner Form angeben können º Die Lagebeziehung eines Punktes zum Kreis ermitte ® n können 319. Berechne 1) den Vektor _ À PQ 2) den Abstand zwischen den beiden Punkten und 3) die G ® eichung der Geraden durch diese Punkte. a) P = (‒ 3 1 4), Q = (5 1 9) b) P = (0 1 ‒ 3), Q = (1 1 ‒7) c) P = (‒ 6 1 ‒ 2), Q = (3 1 ‒ 9) Ein Kreis ist durch seinen Mitte ® punkt M und durch seinen Radius r festge ® egt. Es wird nun eine G ® eichung (Kreisg ® eichung) ermitte ® t, deren Lösungen genau den Koordinaten a ®® er Punkte X = (x 1 y) auf der Kreis ® inie k entsprechen. Koordinatenform der Kreisg ® eichung Her ® eitung der Kreisg ® eichung für die Kreis ® inie k mit Radius r = 5 und Mitte ® punkt M = (‒ 3 1 2). Her ® eitung der Kreisg ® eichung für die Kreis ® inie k mit Radius r und Mitte ® punkt M = (x M 1 y M ). x y 2 4 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –2 0 r = 5 k M = (–3 1 2) X = (x 1 y) x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –2 0 r (y – y M ) (x – x M ) k M x M y M X = (x 1 y) A ®® e Punkte X auf der Kreis ® inie k zeichnen sich dadurch aus, dass sie den Abstand r = 5 vom Mitte ® punkt M = (‒ 3 1 2) haben: | _ À MX | = 5 w † X – M † = | 2 x y 3 – 2 ‒ 3 2 3 | = 5 w w | 2 x + 3 y – 2 3 | = 9 _________ (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 5 w w k: (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 25 A ®® e Punkte X auf der Kreis ® inie k zeichnen sich dadurch aus, dass sie den Abstand r vom Mitte ® punkt M = (x M 1 y M ) haben: | _ À MX | = r w | X – M | = | 2 x y 3 – 2 x M y M 3 | = r w w | 2 x – x M y – y M 3 | = 9 __________ (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r w w k: (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r 2 Aus dieser Koordinatenform erhä ® t man durch Berechnung der Binome und durch Zusammenfassen der Terme die a ®® gemeine Form der Kreisg ® eichung . k: (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 25 w (x 2 + 6 x + 9) + (y 2 – 4 y + 4) = 25 w x 2 + y 2 + 6 x – 4 y = 12 Die Kreisg ® eichung A ®® e Punkte P = (x 1 y) auf der Kreis ® inie k des Kreises mit dem Mitte ® punkt M = (x M 1 y M ) und dem Radius r erfü ®® en die Kreisg ® eichung k: (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r 2 ( Koordinatenform der Kreisg ® eichung ). Die a ®® gemeine Form der Kreisg ® eichung erhä ® t man durch Berechnung der Binome und Zusammenfassen der Terme. vorwissen Techno ® ogie Darste ®® ung Kreisg ® eichung p6w978 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum 2 des Verlags öbv