Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

90 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Monotonie einer Funktion f mit Hi ® fe von f’ Für eine Po ® ynomfunktion f gi ® t: – f ist in [a; b] streng monoton steigend w f’(x) > 0 für a ®® e x * (a; b) – f ist in [a; b] streng monoton fa ®® end w f’(x) < 0 für a ®® e x * (a; b) Krümmung einer Funktion f Eine Funktion f: D ¥ R mit [a; b] ist eine Tei ® menge von D heißt – ® inksgekrümmt in [a; b], wenn f’ in [a; b] streng monoton steigend ist. – rechtsgekrümmt in [a; b], wenn f’ in [a; b] streng monoton fa ®® end ist. – einheit ® ich gekrümmt in [a; b], wenn f in [a; b] nur ® inksgekrümmt oder nur rechtsge- krümmt ist. – f’’(x) > 0 für a ®® e x * (a; b) w f ® inksgekrümmt in [a; b] – f’’(x) < 0 für a ®® e x * (a; b) w f rechtsgekrümmt in [a; b] Nu ®® ste ®® en und Extremste ®® en einer Funktion f – p ist Nu ®® ste ®® e von f. w f(p) = 0 – p ist eine ® oka ® e Extremste ®® e . w f’(p) = 0 und f ändert an der Ste ®® e p ihr Monotonieverha ® ten. – Ist f’(p) = 0 und f’’(p) < 0, dann ist p eine ® oka ® e Maximumste ®® e von f. Der Punkt P = (p 1 f(p)) wird Hochpunkt genannt. – Ist f’(p) = 0 und f’’(p) > 0, dann ist p eine ® oka ® e Minimumste ®® e von f. Der Punkt P = (p 1 f(p)) wird Tiefpunkt genannt. Wendeste ®® en – Eine Ste ®® e p heißt Wendeste ®® e einer Funktion f, wenn sich an der Ste ®® e p das Krümmungsverha ® ten von f ändert. Der Punkt P = (p 1 f(p)) wird Wendepunkt genannt. – f’’(p) = 0 und f ändert an der Ste ®® e p ihr Krümmungsverha ® ten w p ist Wendeste ®® e – Sei f: D ¥ R mit p * D eine Po ® ynomfunktion, dann gi ® t: Ist f’’(p) = 0 und f’’’(p) ≠ 0, dann ist p eine Wendeste ®® e von f. Satte ® ste ®® e/Terrassenste ®® e einer Funktion f Ist f’(p) = 0 und findet an dieser Ste ®® e kein Monotonie- wechse ® statt, dann nennt man p eine Satte ® - oder Terrassenste ®® e . Wendetangente Ist p eine Wendeste ®® e einer Funktion f, dann nennt man die Tangente von f an der Ste ®® e p Wendetangente von f. Extremwertaufgaben Hauptbedingung w Funktion, die an einer Ste ®® e einen Minima ® - bzw. Maxima ® wert annimmt. Nebenbedingung w G ® eichung, die einen Zusammenhang zwischen den Variab ® en der Hauptbedingung beschreibt. Zie ® funktion w Funktion, die man erhä ® t, wenn man aus der Nebenbedingung eine Variab ® e durch die andere ausdrückt und in die Hauptbedingung einsetzt. Von der Zie ® funktion werden die ® oka ® en Extremste ®® en berechnet. zusammenfassung x f(x) 2 8 6 10 –2 2 4 6 –2 0 f Wendepunkt Hochpunkt Tiefpunkt Nullstelle x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –2 0 f Sattelpunkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv