Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 9 Gleichungen höheren Grades | Lösen durch Herausheben und Substitution Horner’sche Rege ® a n – b n = (a – b) · (a n – 1 + a n – 2 · b + a n – 3 · b 2 + … + a 2 · b n – 3 + a · b n – 2 + b n – 1 ) a, b * R , n * N \ {0} 8. Löse die G ® eichung x 3 – 8 = 0 in R . Nach der Rege ® von Horner gi ® t: x 3 – 8 = x 3 – 2 3 = (x – 2) · (x 2 + x · 2 + 2 2 ) = (x – 2) · (x 2 + 2 x + 4). Wegen des Produkt-Nu ®® -Satzes gi ® t für die G ® eichung (x – 2) · (x 2 + 2 x + 4) = 0: x – 2 = 0 oder x 2 + 2 x + 4 = 0 ¥ x 1 = 2 oder x 2, 3 = ‒1 ± 9 ___ 1 – 4 = ‒1 ± 9 __ ‒ 3 + R . Die Lösungsmenge ® autet: L = {2}. 9. Zeige, dass die G ® eichung nur eine ree ®® e Lösung besitzt. a) x 3 – 27 = 0 c) x 3 – 125 = 0 e) x 3 + 1 _ 8 = 0 b) x 3 – 64 = 0 d) x 3 + 1 = 0 f) x 3 + 1 _ 27 = 0 Beachte, dass x 3 + 1 = x 3 – (‒1) 3 gi ® t. 10. Zeige durch Ausmu ® tip ® izieren die Gü ® tigkeit der Horner’schen Rege ® in R . 11. Löse die G ® eichung in R mithi ® fe der binomischen Forme ® und der Horner’schen Rege ® . a) x 6 – 1 = 0 b) x 6 – 64 = 0 c) x 6 – 729 = 0 d) x 6 – 4 096 = 0 x 6 – 1 = (x 3 – 1) (x 3 + 1) Faktorisieren Geogebra: Faktorisiere[Term] Beispie ® : Faktorisiere[x^2 – 9] = (x + 3) (x – 3) TI-nspire: factor(Term) Beispie ® : factor(x^4 – 16) = (x + 2) (x – 2) (x 2 + 4) Wenn mög ® ich, können auch mehrg ® iedrige Terme herausgehoben und danach die binomischen Forme ® n, die Horner’sche Rege ® bzw. die Lösungsforme ® für quadratische G ® eichungen angewendet werden. 12. Löse die G ® eichung (x 2 – 1) (x 2 – 1) – 15 (x 2 – 1) = 0 in der Menge der ree ®® en Zah ® en. Hebe den Faktor x 2 – 1 heraus: (x 2 – 1) (x 2 – 1 – 15) = (x 2 – 1) (x 2 – 16) = 0. Nach dem Produkt-Nu ®® -Satz gi ® t: x 2 – 1 = 0 oder x 2 – 16 = 0. Die Lösungen der beiden G ® eichungen ® auten x 1 = 1, x 2 = ‒1, x 3 = 4, x 4 = ‒ 4. L = {‒ 4; ‒1; 1; 4} 13. Löse die G ® eichung durch Faktorisieren in der Menge R . a) 4 x 2 (x – 2) – (x – 2) = 0 d) (x 2 + 2 x) (x 2 – 4) = 15 (x 2 – 4) b) 25 x 2 (x + 1) – (x + 1) = 0 e) (x 2 – 1) (x 2 + x) – 20 (x 2 – 1) = 0 c) x 2 (x – 5) = 3 x (x – 5) f) (x 2 – 3 x – 40) (x 2 + 50) = 2 x (x 2 – 3 x – 40) muster TIPP TIPP muster Arbeitsb ® att Lösen von G ® eichungen wm7rv2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv