Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

89 Untersuchung von Polynomfunktionen | Extremwertaufgaben 295. We ® cher Kege ® mit der Erzeugenden s = 9 __ 10 cm hat das maxima ® e Vo ® umen? Bestimme die Maße des Kege ® s und den maxima ® en Rauminha ® t. Nebenbedingung mit dem Strah ® ensatz Neben dem Satz von Pythagoras kann beim Auftreten von ähn ® ichen Dreiecken auch der Strah ® ensatz zum Aufste ®® en einer Nebenbedingung verwendet werden. 296. In ein rechtwink ® iges Dreieck mit den Katheten ® ängen 12 cm und 8 cm so ®® ein Rechteck mit größtmög ® ichem F ® ächeninha ® t so eingeschrieben werden, dass eine Ecke im rechten Winke ® ® iegt. We ® che Seiten ® ängen hat das Rechteck? 1. Für die Hauptbedingung gi ® t: A(a, b) = a · b. 2. Das Dreieck ABC ist ähn ® ich zum Dreieck A 1 B 1 C. Daher gi ® t nach dem Strah ® ensatz 12 : 8 = b : (8 – a) (Nebenbedingung) 3. Das Auf ® ösen der Proportion ergibt: 8 b = 12 · (8 – a) w b = 12 (8 – a) __ 8 = 3 (8 – a) __ 2 = 12 – 1,5 a Daraus ergibt sich für die Zie ® funktion A(a) = a · (12 – 1,5 a) = 12 a – 1,5 a 2 . 4. Die Nu ®® ste ®® e der ersten Ab ® eitung ® iefert die Extremste ®® e: A’ (a) = 12 – 3 a = 0 w a = 4 5. Es gi ® t A’’(4) < 0. An der Ste ®® e a = 4 ® iegt daher ein ® oka ® es Maximum für A. 6. Aus der Nebenbedingung fo ® gt b = 12 – 1,5 · 4 = 6 cm. Das Rechteck mit dem maxima ® en F ® ächeninha ® t hat die Abmessungen a = 4cm und b = 6cm. 297. Einem g ® eichschenk ® igen Dreieck mit der Höhe h = 8 cm und der Basis ® änge c = 10 cm wird ein Rechteck mit maxima ® em F ® ächeninha ® t eingeschrieben. Berechne den F ® ächeninha ® t. 298. Ein g ® eichschenk ® iges Dreieck hat die Basis ® änge c = 4 cm und die Höhe h = 3 cm. Dem Dreieck wird ein Rechteck mit maxima ® em F ® ächeninha ® t eingeschrieben. In we ® chem Verhä ® tnis steht der F ® ächeninha ® t des Dreiecks zu dem des Rechtecks? 299. Dem Dreieck ABC mit der Länge c = 12 cm und der Höhe h = 6 cm ist das f ® ächengrößte Rechteck PQRS einzuschreiben. Eine Rechteckseite ® iegt auf c. Berechne die Maße des Rechtecks. 300. Einem Drehkege ® mit dem Radius R = 60 cm und der Höhe H = 80 cm so ®® ein achseng ® eicher Drehzy ® inder so eingeschrieben werden, dass seine Mante ® - f ® äche mög ® ichst groß wird. Bestimme die Abmessungen des Drehzy ® inders und die maxima ® e Mante ® f ® äche. 301. Einem Drehkege ® mit den Radius R und der Höhe H so ®® ein achseng ® eicher Drehkege ® mit maxima ® em Vo ® umen so eingeschrieben werden, dass seine Spitze im Mitte ® punkt des Basiskreises des gegebenen Drehkege ® s ® iegt. Bestimme die Maße des eingeschriebenen Drehkege ® s. Arbeitsb ® att Extremwert- aufgaben r4sp5y muster C A 1 B 1 A B b a b 12cm 8cm 8 – a C A h B c C S A P c Q B R h – y y h x h y Arbeitsb ® att Extremwert- aufgaben 7ty6dj Nur e zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags _ öbv