Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

88 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Nebenbedingung mit dem Satz von Pythagoras Eine weitere Mög ® ichkeit für eine Nebenbedingung ste ®® t der Satz von Pythagoras dar, wenn in der Angabe einer Extremwertaufgabe keine weiteren Größen gegeben sind. 289. Bestimme die Seiten ® ängen a und b desjenigen Rechtecks, das bei gegebener Diagona ® en ® änge d = 5 9 _ 2 cm maxima ® en F ® ächeninha ® t A hat. 1. Die Hauptbedingung ist der F ® ächeninha ® t des Rechtecks: A(a, b) = a · b 2. Die Nebenbedingung ergibt sich durch Anwenden des Satzes von Pythagoras auf das rechtwink ® ige Dreieck ABC: a 2 + b 2 = d 2 w a 2 + b 2 = (5 9 _ 2) 2 = 50 3. Drückt man mithi ® fe der NB zum Beispie ® b = 9 ____ 50 – a 2 aus, erhä ® t man die Zie ® funktion A(a) = a · 9 ____ 50 – a 2 . 4. Durch Quadrieren ergibt sich eine Vereinfachung der Zie ® funktion : f(a) = A 2 (a) = a 2 · (50 – a 2 ) = 50 a 2 – a 4 Es ändert sich dadurch die ® oka ® e Maximumste ®® e nicht, wei ® der größte Funktionswert auch stets das größte Quadrat besitzt. A(a) und A 2 (a) = f(a) besitzen im se ® ben Definitions- bereich diese ® ben Extremste ®® en. Danach wird mit der ersten Ab ® eitung die Maximumste ®® e bestimmt: f’(a) = 100 a – 4 a 3 = 0 w a = 0, a = ‒ 5 (nicht sinnvo ®® ) oder a = 5. 5. Überprüfen des kritischen Werts a = 5 mit der 2. Ab ® eitung: A’’(5) < 0 w ® oka ® es Maximum 6. Aus der Nebenbedingung ergibt sich b = 9 ____ 50 – a 2 = 5 cm. Das Rechteck mit den Maßen a = b = 5 cm (Quadrat) hat bei gegebener Diagona ® en ® änge d = 5 9 _ 2 cm den maxima ® en F ® ächeninha ® t. 290. Einer Kuge ® mit a) R = 20 cm b) R = z cm werden Drehzy ® inder eingeschrieben. Berechne die Abmessungen und das Vo ® umen jenes Zy ® inders, der das größte Vo ® umen hat. 291. Einer Kuge ® mit dem Radius a) R = 8 cm b) R = z cm so ®® ein Drehkege ® mit dem größt- mög ® ichen Vo ® umen eingeschrieben werden. Berechne die Abmessungen und das Vo ® umen dieses Drehkege ® s. 292. Aus einem Baumstamm mit einem Durchmesser von 80 cm so ®® ein Ba ® ken mit dem größtmög ® ichen rechteckigen Querschnitt heraus- geschnitten werden. Berechne die Abmessungen des Ba ® kens. 293. Einer Ha ® bkuge ® mit dem Radius a) R = 10 cm b) R = z cm ist ein Zy ® inder mit mög ® ichst großem Vo ® umen einzuschreiben. Berechne den Radius r und die Höhe h des Zy ® inders. 294. We ® ches gerade quadratische Prisma mit der Raumdiagona ® e d = 2 9 _ 3 cm hat das größte Vo ® umen? Bestimme die Maße des Prismas und den maxima ® en Rauminha ® t. muster d D A B C b a r h R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv