Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

86 kompe- tenzen 3.6 Extremwertaufgaben Lernzie ® : º Extremwertaufgaben mit Hi ® fe der Differentia ® rechnung ® ösen können Eine Anwendung der Differentia ® rechnung ist die Bestimmung von Extrema in verschiedenen a ®® täg ® ichen Bereichen. Ein Bauer möchte mit einem 30m ® angen Maschendraht einen mög ® ichst großen recht- eckigen Aus ® auf für seine Hühner abstecken. Wie ® ang und wie breit wird der Aus ® auf? Dazu geht man in mehreren Schritten vor: 1. Aufste ®® en der Hauptbedingung (HB) Die zu optimierende Größe (hier der F ® ächeninha ® t) wird a ® s Haupt- bedingung bezeichnet. Für den F ® ächeninha ® t A eines Rechtecks mit den Seiten ® ängen a und b gi ® t: A(a, b) = a · b. Die Hauptbedingung kann a ® s Funktion mit zwei Variab ® en aufgefasst werden. 2. Finden der Nebenbedingung (NB) Die Nebenbedingung wird benötigt, um aus der Hauptbedingung mit zwei Variab ® en eine mit nur einer Variab ® e zu machen. Dazu kann in diesem Fa ®® die Länge des Maschendrahtes verwendet werden, die dem Umfang des Rechtecks entspricht: 2 · (a + b) = 30. 3. Aufste ®® en der Zie ® funktion Drückt man nun aus der Nebenbedingung eine Variab ® e durch die andere aus und setzt in die Hauptbedingung ein, entsteht eine Funktion, die nur mehr von einer freien Variab ® en abhängt: 2 · (a + b) = 30 w a + b = 15 w a = 15 – b Zie ® funktion : A(b) = (15 – b) · b = 15 b – b 2 Ste ®® t man die Zie ® funktion A(b) graphisch dar, erkennt man bereits, dass es an einer Ste ®® e b ein Maximum gibt. Den größtmög ® ichen sinnvo ®® en Definitionsbereich für b kann man durch Berechnung der Nu ®® ste ®® en von A ermitte ® n. Hier gi ® t D = [0; 15]. 4 . Berechnung der ® oka ® en Extremste ®® e An der Maximumste ®® e ist die erste Ab ® eitung von A nu ®® : A’(b) = 15 – 2 b = 0 w b = 7,5. 5. Kontro ®® e Der Wert b = 7,5 wird a ® s kritischer Wert bezeichnet, da die Zie ® funktion entweder an dieser Ste ®® e oder am Rand des Definitionsbereichs bei b = 0 oder b = 15 (man spricht dann von einem Randex- tremum ) maxima ® werden kann. Wie man anhand des Graphen erkennt, ® iegt bei 7,5 die gesuchte Maximumste ®® e. Rechnerische Überprüfung: Da A’’(7,5) < 0 gi ® t, ® iegt bei b = 7,5m das ® oka ® e Maximum. Der maxima ® e F ® ächeninha ® t ist A(7,5) = 56,25m 2 . 6. Berechnung der zweiten Größe Die zweite Größe wird aus der Nebenbedingung berechnet: a = 15 – b = 15 – 7,5 = 7,5m. Das Rechteck mit den Abmessungen a = b = 7,5m hat bei einem gegebenem Umfang u = 30m den maxima ® en F ® ächeninha ® t. Es hande ® t sich um ein Quadrat. a b b A(b) 4 8 12 16 20 40 60 0 A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verl gs öbv