Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 82 kompe- tenzen 3.5 Auffinden von Po ® ynomfunktionen Lernzie ® : º Po ® ynomfunktionen mit bestimmten Eigenschaften aufste ®® en können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 3.3 Eigenschaften von Funktionen mit Hi ® fe der Ab ® eitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, ® oka ® e Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendeste ®® en Bis zu diesem Kapite ® waren Po ® ynomfunktionen angegeben. Diese wurden ansch ® ießend z. B. auf Nu ®® ste ®® en, Extremste ®® en, Wendeste ®® en untersucht. Manchma ® sind aber bestimmte Eigenschaften gegeben und es ist eine Po ® ynomfunktion mit diesen Eigenschaften gesucht. 255. Ste ®® e eine Po ® ynomfunktion vierten Grades auf, die an der Ste ®® e 1 eine Extremste ®® e besitzt. An der Ste ®® e 2 ® iegt eine Wendeste ®® e mit der Wendetangente t: 3 x + y = 8 vor. Eine Po ® ynomfunktion dritten Grades hat a ®® gemein die Form f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d. Nun müssen die vier Koeffizienten a, b, c, d berechnet werden. Da es sich hierbei um vier Unbe- kannte hande ® t, benötigt man vier G ® eichungen, um die gesuchten Größen zu berechnen. Daher müssen auch vier Bedingungen gegeben sein. Da eine Extremste ®® e und eine Wendeste ®® e gegeben sind, werden zwei Ab ® eitungen benötigt: f’(x) = 3 a x 2 + 2 b x + c f’’(x) = 6 a x + 2 b 1. Bedingung: 1 ist eine Extremste ®® e. w f’(1) = 0 w 3 a + 2 b + c = 0 2. Bedingung: 2 ist eine Wendeste ®® e. w f’’(2) = 0 w 12 a + 2 b = 0 3. Bedingung: Setzt man 2 in die Wendetangente ein, erhä ® t man die Koordinaten des Wendepunkts: t: 3 · 2 + y = 8 w y = 2 (2 1 2) ist ein Punkt von f w f(2) = 2 w 8 a + 4 b + 2 c + d = 2 4. Bedingung: Liest man die Steigung der Wendetangente ab, dann erhä ® t man eine weitere G ® eichung. t: y = ‒ 3 x + 8 w k = ‒ 3 Die Steigung an der Ste ®® e 2 ist ‒ 3. w f’(2) = ‒ 3 w 12 a + 4 b + c = ‒ 3 Mit Hi ® fe dieser Bedingungen erhä ® t man nun ein G ® eichungssystem und erhä ® t die gesuchten Werte: 3 a + 2 b + c = 0 12 a + 2 b = 0 8 a + 4 b + 2 c + d = 2 12 a + 4 b + c = ‒ 3 } a = 1 b = ‒ 6 c = 9 d = 0 Die Po ® ynomfunktion ® autet daher: f(x) = x 3 – 6 x 2 + 9 x. Lösen von Aufgabe 255 mit Hi ® fe von Techno ® ogie Geogebra: f(x) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + d Löse[{f‘(1) = 0, f‘‘(2) = 0, f(2) = 2, f‘(2) = ‒ 3}, {a, b, c, d}] TI-Nspire: Für diese Eingabe verg ® eiche den On ® ine-Link 256. Der Graph einer Po ® ynomfunktion f zweiten Grades geht durch die Punkte A, B, C. Gib die Funktionsg ® eichung der Funktion an. a) A = (3 1 7), B = (1 1 5), C = (‒1 1 ‒ 2) c) A = (1 1 6), B = (2 1 3), C = (3 1 1) b) A = (‒ 3 1 ‒ 5), B = (‒ 2 1 ‒ 6), C = (4 1 2) d) A = (0 1 4), B = (1 1 6), C = (3 1 ‒ 3) muster Techno ® ogie An ® eitung Auffinden von Po ® ynomfunktionen mit TI-Nspire w8v8j2 Nur 8 zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv