Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 8 Gleichungen höheren Grades 1 Herausheben (Faktorisieren) Das Lösen durch Herausheben der Variab ® e ist nur dann mög ® ich, wenn a 0 nu ®® ist. 3. Löse die G ® eichung x 3 + 4 x 2 – 45 x = 0 in der Menge der ree ®® en Zah ® en. Hebe die Variab ® e heraus: x · (x 2 + 4 x – 45) = 0. Das Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist (Produkt- Nu ®® -Satz). D. h.: x 1 = 0 oder x 2 + 4 x – 45 = 0. Die zweite G ® eichung wird mit der Lösungsforme ® für quadratische G ® eichungen ge ® öst. x 2, 3 = ‒ 4 _ 2 ± 9 _____ 2 4 _ 2 3 2 + 45 = ‒ 2 ± 9 ____ 4 + 45 = ‒ 2 ± 9 __ 49 = ‒ 2 ± 7 Die Lösungen ® auten: x 1 = 0 x 2 = 5 x 3 = ‒ 9 L = {‒ 9; 0; 5} 4. Löse die G ® eichung in R durch Herausheben. a) x 3 + 9 x 2 + 14 x = 0 d) 2 x 3 + 3 x 2 – 5 x = 0 g) 3 x 4 – 30 x 3 = 0 j) 4 x 5 = 5 x 4 b) x 3 + 3 x 2 – 88 x = 0 e) 6 x 4 + x 3 – x 2 = 0 h) 2 x 4 – 18 x 3 = 0 k) 3 x 5 = 12 x 3 c) x 3 – 8 x 2 + 16 x = 0 f) x 4 + 14 x 3 + 49 x 2 = 0 i) 2 x 5 + 6 x 4 = 0 ® ) x 6 – 49 x 4 = 0 Lösen von G ® eichungen Geogebra: Löse[G ® eichung, Variab ® e] Beispie ® : Löse[x^3 + 3 x^2 – 4 x = 0, x] TI-Nspire: so ® ve(G ® eichung, Variab ® e) Beispie ® : so ® ve(4 x 2 + x – 5 = 0, x) Neben dem Herausheben der Variab ® en wird oft auch die binomische Forme ® a 2 – b 2 = (a + b) · (a – b) zum Faktorisieren verwendet. 5. Löse die G ® eichung a) x 2 – 144 = 0 b) x 4 – 16 = 0 in R . Durch Anwenden der binomischen Forme ® ® ässt sich der Term der G ® eichung in ein Produkt zer ® egen und der Produkt-Nu ®® -Satz anwenden. a) x 2 – 144 = 0 ¥ (x – 12) (x + 12) = 0 ¥ x – 12 = 0 oder x + 12 = 0 ¥ x 1 = 12, x 2 = ‒12 L = {‒12, 12} b) Anwenden der binomischen Forme ® : x 4 – 16 = (x 2 – 4) · (x 2 + 4) = 0 Wegen des Produkt-Nu ®® -Satzes gi ® t: x 2 – 4 = 0 oder x 2 + 4 = 0 ¥ x 2 = 4 oder x 2 = ‒ 4 ¥ x 1, 2 = ± 2 oder x 3, 4 = ± 9 __ ‒ 4 + R . Die Lösungsmenge ist L = {‒ 2; 2}. 6. Löse die G ® eichung durch Faktorisieren mit der binomischen Forme ® in R . a) x 2 – 4 = 0 c) x 2 – 49 = 0 e) x 4 – 1 _ 16 = 0 b) x 2 – 9 = 0 d) x 4 – 144 = 0 f) x 4 – 1 _ 100 = 0 7. Löse die G ® eichung mit Techno ® ogie. a) x 4 – 81 = 0 b) x 4 – 256 = 0 c) x 6 – 1 = 0 d) x 6 – 64 = 0 Auch die Horner’sche Rege ® (benannt nach Wi ®® iam George Horner, 1786 –1837, einem eng ® ischen Mathematiker und Pädagogen) für Terme der Form a n – b n (n * N \ {0}) kann zum Faktorisieren verwendet werden. muster muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv