Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

76 kompe- tenzen 3.3 Kurvendiskussionen Lernzie ® : º Eine Kurvendiskussion bei Po ® ynomfunktionen durchführen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 3.3 Eigenschaften von Funktionen mit Hi ® fe der Ab ® eitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, ® oka ® e Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendeste ®® en Mit Hi ® fe von Techno ® ogie ist das Zeichnen des Graphen einer Funktion recht schne ®® gemacht. Mit den Methoden der vorigen Abschnitte kann man wichtige Eigenschaften berechnen und kennt dadurch den Kurvenver ® auf des Graphen recht gut. Die Berechnung der fo ® genden Punkte wird Kurvendiskussion genannt: 1. Definitionsmenge aufste ®® en 2. Nu ®® ste ®® en berechnen w f(x) = 0 3. Extremste ®® en berechnen und die Art der Extremste ®® en (Minimum, Maximum) angeben. Dabei gi ® t: f’(p) = 0 und f’’(p) < 0 w p ist ein ® oka ® es Maximum. f’(p) = 0 und f’’(p) > 0 w p ist ein ® oka ® es Minimum. 4. Monotonieinterva ®® e angeben 5. Wendeste ®® en berechnen w f’’(p) = 0 und f’’’(p) ≠ 0 6. Krümmungsinterva ®® e angeben 7. Wendetangenten aufste ®® en 8. Symmetrie überprüfen w Bei einer geraden Funktion gi ® t f(x) = f(‒ x). Bei einer ungeraden Funktion gi ® t f(x) = ‒ f(‒ x). 9. asymptotisches Verha ® ten überprüfen: Wie verhä ® t sich die Funktion für x ¥ • bzw. x ¥ ‒ • ? 10. Graphen der Funktion zeichnen 241. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 4 _ 8 – x 2 . Führe eine Kurvendiskussion durch. Zuerst werden die ersten drei Ab ® eitungen berechnet, da diese bei weiteren Berechnungen notwendig sind: f’(x) = x 3 _ 2 – 2 x f’’(x) = 3 x 2 _ 2 – 2 f’’’(x) = 3 x 1. Definitionsmenge: D = R , da Po ® ynomfunktionen auf ganz R definiert sind. 2. Nu ®® ste ®® en: 0 = x 4 _ 8 – x 2 w x 1 = 0, x 2 = 9 _ 8, x 3 = ‒ 9 _ 8 Schnittpunkte mit der x-Achse: N 1 = (0 1 0), N 2 = ( 9 _ 8 1 0), N 3 = (‒ 9 _ 8 1 0) 3. Extremste ®® en: 0 = x 3 _ 2 – 2 x w x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = ‒ 2 Art der Extremste ®® en: f’’(0) = ‒ 2 < 0 w ® oka ® es Maximum f’’(2) = 4 > 0 w ® oka ® es Minimum f’’(‒ 2) = 4 > 0 w ® oka ® es Minimum Berechnen der Funktionswerte: f(0) = 0, f(2) = ‒ 2, f(‒ 2) = ‒ 2 Die Extrempunkte sind: T 1 = (‒ 2 1 ‒ 2), T 2 = (2 1 ‒ 2), H = (0 1 0) 4. Angabe der Monotonieinterva ®® e: (‒ • ; ‒ 2] und [0; 2] streng monoton fa ®® end [‒ 2; 0] und [2; • ) streng monoton steigend 5. Wendeste ®® en: 0 = 3 x 2 _ 2 – 2 w x 1 = 9 _ 4 _ 3 , x 2 = ‒ 9 _ 4 _ 3 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv