Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 75 Untersuchung von Polynomfunktionen | Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte Weitere hinreichende Bedingung für Wendeste ®® en Sei f: D ¥ R mit p * D eine Po ® ynomfunktion, dann gi ® t: f’’(p) = 0 und f’’’(p) ≠ 0 w p ist eine Wendeste ®® e von f 236. Berechne die Extrem- und Wendeste ®® en der Funktion f mit f(x) = x 3 _ 6 – x 2 und verwende die obigen beiden hinreichenden Bedingungen zur Überprüfung. Zuerst werden die ersten drei Ab ® eitungen gebi ® det: f’(x) = x 2 _ 2 – 2 x f’’(x) = x – 2 f’’’(x) = 1 Berechnung der Extremste ®® en: f’(x) = 0 w 0 = x 2 _ 2 – 2 x w x 1 = 0, x 2 = 4 Überprüfung und Art der Extremste ®® en: f’’(0) = ‒ 2 < 0 w f ist an der Ste ®® e 0 negativ gekrümmt. w 0 ist eine Maximumste ®® e. f’’(4) = 2 > 0 w f ist an der Ste ®® e 4 positiv gekrümmt. w 4 ist eine Minimumste ®® e. Berechnung der Wendeste ®® en: f’’(x) = 0 w 0 = x – 2 w x = 2 Überprüfung der Wendeste ®® e: f’’’(2) = 1 ≠ 0 w An der Ste ®® e 2 ® iegt eine Wendeste ®® e. 237. Berechne die Extrem- und Wendepunkte der Funktion f und verwende die beiden hinreichenden Bedingungen zur Überprüfung. a) f(x) = 1 _ 8 x 3 – 1 _ 4 x 2 d) f(x) = 1 _ 24 · (x 3 – 1,5 x 2 – 90 x) b) f(x) = 2 x 3 – 6 x + 3 e) f(x) = 2 x 4 – 3 x 2 + 2 c) f(x) = x 3 + 1,5 x 2 – 2,25 x + 1 f) f(x) = 1 _ 9 · (3 x 4 – 16 x 3 – 18 x 2 + 216 x – 7) 238. a) Erk ® äre anhand der Funktion f mit f(x) = x 6 , warum für eine Extremste ®® e x 0 die Bedingung f’’(x 0 ) ≠ 0 keine notwendige Bedingung ist. b) Erk ® äre anhand der Funktion f mit f(x) = x 7 , warum für eine Wendeste ®® e x 0 die Bedingung f’’’(x 0 ) ≠ 0 keine notwendige Bedingung ist. 239. Gegeben ist eine Po ® ynomfunktion f, sowie f(3) = 0, f’(3) = 0, f’’(3) = ‒ 4. Vervo ®® ständige den fo ® genden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. f besitzt bei (1) eine (2) . (1) (2) x = ‒ 4  ® oka ® e Maximumste ®® e  x = 0  ® oka ® e Minimumste ®® e  x = 3  Wendeste ®® e  240. Gegeben ist eine Po ® ynomfunktion f dritten Grades. Kreuze a ®® e sicher zutreffenden Aussagen an. Aussage f(0) = 0 f’(0) = 0 f’’(0) = 0 f’’(0) ≠ 0 A 0 ist eine Nu ®® ste ®® e von f.     B 0 ist eine ® oka ® e Extremste ®® e von f.     C 0 ist eine Wendeste ®® e von f.     D 0 ist eine Satte ® ste ®® e von f.     E 0 ist eine Wendeste ®® e von f mit Wendetangente t(x) = 3 x.     F (0 1 2) ist ein Wendepunkt von f.     muster AN 3.3 Nur zu Prüfzwecken h – Eigentum des Verlags öbv