Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 74 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 235. Gegeben ist der Graph einer Po ® ynomfunktion f. Ordne dem Graphen von f den Graphen von f’’ zu. Begründe deine Entscheidung. a) i) ii) iii) b) i) ii) iii) c) i) ii) iii) Eine weitere hinreichende Bedingung für Extrempunkte und Wendepunkte In 3.1 wurde bereits eine hinreichende Bedingung für Extremste ®® en erarbeitet: Ist an einer Ste ®® e p die erste Ab ® eitung nu ®® und findet an dieser Ste ®® e ein Monotonie- wechse ® statt, dann hande ® t es sich um eine Extremste ®® e. Mit Hi ® fe der Krümmung erhä ® t man eine weitere hinrei- chende Bedingung: Ist an einer Ste ®® e p die erste Ab ® eitung nu ®® und die Krümmung negativ, dann hande ® t es sich um eine Maximumste ®® e. Ist an einer Ste ®® e p die erste Ab ® eitung nu ®® und die Krümmung positiv, dann hande ® t es sich um eine Minimumste ®® e. Weitere hinreichende Bedingung für Extremste ®® en Sei f: D ¥ R mit p * D eine Po ® ynomfunktion, dann gi ® t: – f’(p) = 0 und f’’(p) < 0 w p ist eine ® oka ® e Maximumste ®® e von f – f’(p) = 0 und f’’(p) > 0 w p ist eine ® oka ® e Minimumste ®® e von f Da die Wendeste ®® en die Extremste ®® en der ersten Ab ® eitung sind, kann man obige Bedingung auch auf die erste Ab ® eitung anwenden und erhä ® t: x f(x) 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f x f’’(x) 2 4 6 –2 2 4 –4 –2 0 f ’’ x f’’(x) 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f ’’ x f’’(x) 2 4 6 –2 2 –4 –2 0 f ’’ x f(x) 2 –6 –4 –2 2 –6 –4 –2 0 f x f’’(x) 2 –6 –4 –2 2 –6 –4 –2 0 f ’’ x f’’(x) 2 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f ’’ x f’’(x) 2 4 6 –2 2 4 –4 –2 0 f ’’ x f(x) 4 8 –8 –4 –8 –6 –4 –2 0 f x f’’(x) 4 8 –8 –4 2 4 6 –2 0 f ’’ x f’’(x) 4 8 –8 –4 2 4 6 –2 0 f ’’ x f’’(x) 4 8 –8 –4 –8 –6 –4 –2 0 f ’’ x f(x) 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f (f ist links gekrümmt) lokales Maximum lokales Minimum (f ist rechts gekrümmt) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv