Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 70 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Leider kann man aus der Eigenschaft f’’(p) = 0 nicht sch ® ießen, dass an dieser Ste ®® e auch eine Wendeste ®® e ® iegt. In der Abbi ® dung sieht man den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 4 . Es gi ® t f’’(x) = 12 x 2 und weiters f’’(0) = 0. A ®® erdings ändert f an der Ste ®® e 0 nicht ihr Krümmungsverha ® ten, somit ® iegt an dieser Ste ®® e keine Wendeste ®® e vor. Um sicher zu sein, dass eine Ste ®® e p eine Wendeste ®® e ist, kann z. B. das Krümmungsverha ® ten untersucht werden. Hinreichende Bedingung für Extremste ®® en f’’(p) = 0 und f ändert an der Ste ®® e p ihr Krümmungsverha ® ten w p ist Wendeste ®® e 224. Gib die Wendeste ®® e(n) der Funktion aus Aufgabe 215 an. 225. Gib a ®® e Wendeste ®® en der Po ® ynomfunktion f an. a) f’’(x) > 0 für a ®® e x * (8; • ) f’’(x) < 0 für a ®® e x * (‒ • ; 8) b) f’’(x) > 0 für a ®® e x * (‒ • ; ‒ 4) und x * (1; • ) f’’(x) < 0 für a ®® e x * (‒ 4; 1) c) f’’(x) > 0 für a ®® e x * (‒ 9; ‒ 6) und x * (1; • ) f’’(x) < 0 für a ®® e x * (‒ • ; ‒ 9) und x * (‒ 6; 1) Vereinfacht gesagt ver ® aufen bei positiver Krümmung die Tangenten „unterha ® b“ des Graphen von f, bei negativer Krümmung oberha ® b des Graphen von f. Im Wendepunkt ver ® äuft die Tangente einma ® „unterha ® b“ und einma ® „oberha ® b“ des Graphen von f. Wendetangente Ist p eine Wendeste ®® e einer Funktion f, dann nennt man die Tangente von f an der Ste ®® e p Wendetangente . 226. Bestimme die Wendepunkte, die Krümmungsbereiche und die Wendetangenten der Funktion f mit f(x) = x 4 _ 12 – x 3 – 7x 2 _ 2 . Um die Wendeste ®® en zu bestimmen, setzt man die zweite Ab ® eitung 0. f’(x) = x 3 _ 3 – 3 x 2 – 7x f’’(x) = x 2 – 6 x – 7 w 0 = x 2 – 6 x – 7 Durch Lösen der G ® eichung erhä ® t man die beiden mög ® ichen Wendeste ®® en: x 1 = ‒1, x 2 = 7. Man erhä ® t drei mög ® iche Krümmungsbereiche und überprüft mit Hi ® fe der zweiten Ab ® eitung die Krümmung: (‒ • ; ‒1) z. B. x = ‒ 2 w f’’(‒ 2) = 9 w f ist in (‒ • ; ‒1] ® inks gekrümmt. (‒1; 7) z. B. x = 0 w f’’(0) = ‒7 w f ist in [‒1; 7] rechts gekrümmt. (7; • ) z. B. x = 8 w f’’(8) = 9 w f ist in [7; • ) ® inks gekrümmt. Da sich die Krümmung an den beiden Ste ®® en ändert, hat man zwei Wendeste ®® en erha ® ten. Nun werden noch die Funktionswerte berechnet: f(‒1) = ‒ 29 _ 12 , f(7) = ‒ 3773 _ 12 w W 1 = 2 ‒1 1 ‒ 29 _ 12 3 W 2 = 2 7 1 ‒ 3773 _ 12 3 x f(x) 2 4 –4 –2 2 4 6 –2 0 f Techno ® ogie Darste ®® ung Wendetangente z6c25a x f(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 4 –4 –2 0 Wende- stelle f muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv