Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 7 kompe- tenzen 1.1 Lösen durch Herausheben und Substitution Lernzie ® e: º Die Definition einer a ® gebraischen G ® eichung kennen º A ® gebraische G ® eichungen durch Herausheben ® ösen können º A ® gebraische G ® eichungen durch Anwenden der Horner’schen Rege ® ® ösen können º Biquadratische G ® eichungen erkennen können º Biquadratische G ® eichungen durch eine passende Substitution ® ösen können Die Lösung einer einfachen ® inearen G ® eichung a x + b = 0 (a ≠ 0) kann durch Anwenden von Äquiva ® enzumformungen schne ®® gefunden werden und ist x = ‒ b _ a . Auch die Lösungen a ®® gemeiner quadratischer G ® eichungen der Art a · x 2 + b · x + c = 0 können durch Anwenden der Lösungsforme ® ermitte ® t werden: x 1, 2 = ‒ b ± 9 _____ b 2 – 4 a c __ 2 a . Dabei ist jedoch zu beachten, dass quadratische G ® eichungen aufgrund des Vorzeichens der Zah ® unter der Wurze ® in R nicht immer ® ösbar sein müssen. 1. Löse die G ® eichung in der Menge der ree ®® en Zah ® en. a) 2 (x – 3) + 5 x 2 = ‒ (2 x + 3) + 5 (x – 1) 2 c) x 2 + 10 x + 34 = 0 b) (3 x – 1) 2 + 4 + x = (3 x – 2) (3 x + 2) d) 16 x 2 – 24 x + 9 = 0 Ein Produkt ist genau dann nu ®® , wenn mindestens einer der Faktoren nu ®® ist ( Produkt-Nu ®® - Satz ). Dieser Satz erweist sich beim Finden der Lösungen bestimmter G ® eichungen a ® s nütz ® ich. 2. Löse die G ® eichung unter Verwendung des Produkt-Nu ®® -Satzes. a) (x – 3) (x + 2) = 0 c) x (x 2 – 6 x + 9) = 0 e) (x + 1) (x 2 + 4 x + 4) = 0 b) x (x – 1) (x + 2) = 0 d) 5 x 2 (x 2 – 3 x – 4) = 0 f) x (x – 4) (x 2 – 2 x + 1) = 0 Im Fo ® genden werden G ® eichungen, deren Grad größer a ® s zwei ist, in der Menge der ree ®® en Zah ® en auf ihre Lösbarkeit hin untersucht. Dabei betrachtet man aussch ® ieß ® ich so genannte a ® gebraische G ® eichungen . A ® gebraische G ® eichung Eine G ® eichung der Art a n x n + a n – 1 x n – 1 + a n – 2 x n – 2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 mit a n ≠ 0 und n º 1, a 0 , a 1 , …, a n * R wird a ® s a ® gebraische G ® eichung vom Grad n mit ree ®® en Koeffizienten bezeichnet. a 0 heißt konstantes oder abso ® utes G ® ied . Gi ® t für den führenden Koeffizienten a n = 1, dann spricht man von einer normierten a ® gebraischen G ® eichung oder von der Norma ® form . A ® gebraische G ® eichungen können, abhängig von ihrer Gesta ® t, mit unterschied ® ichen Methoden ge ® öst werden. vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv