Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 69 Untersuchung von Polynomfunktionen | Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte Wendeste ®® e und Wendetangente So wie Extremste ®® en Po ® ynomfunktionen in Monotoniebereiche eintei ® en, gibt es auch Ste ®® en, die Funktionen in Krümmungsbereiche untertei ® en. Wendeste ®® en Eine Ste ®® e p heißt Wendeste ®® e einer Funktion f, wenn sich an der Ste ®® e p das Krümmungsverha ® ten von f ändert. Der Punkt W = (p 1 f(p)) wird Wendepunkt genannt. Um diese Wendeste ®® en zu finden, sind Über ® egungen anhand eines Beispie ® s hi ® freich: x f(x) 2 4 6 8 10 – 14 – 12 – 10 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f negative Krümmung positive Krümmung Wendestelle Krümmungswechsel Die Wendeste ®® e untertei ® t die Funktion f in zwei Krümmungs- bereiche. Für x < ‒ 3 ist die Funktion  negativ gekrümmt, für x > ‒ 3 ist f  positiv gekrümmt. An der Ste ®® e ‒ 3,  der Wendeste ®® e, ist die Steigung der Tangente am k ® einsten. x f’(x) 2 4 6 8 10 – 14 – 12 – 10 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f ’ f ’ ist streng monoton fallend f ’ ist streng monoton steigend Die Wendestelle wird zu einer Extremstelle. Da die Tangentensteigungen von f für x < ‒ 3 abnehmen und für x > ‒ 3  zunehmen, ist f’ zuerst streng monoton fa ®® end, ansch ® ießend streng monoton steigend. Da die Steigung der Tangente von f an der Ste ®® e ‒ 3 am k ® einsten ist, ® iegt bei f’ an dieser Ste ®® e eine Extremste ®® e vor. x f’’(x) 2 4 6 8 10 – 14 – 12 – 10 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f ’’ f ’’ ist negativ Die Wendestelle wird zu einer Nullstelle. f ’’ ist positiv Da an der Ste ®® e ‒ 3 bei f’ eine  Extremste ®® e ist, wird aus dieser in f’’ eine Nu ®® ste ®® e. Die Wendeste ®® e ist a ® so in der zweiten Ab ® eitung eine Nu ®® ste ®® e. Die Wendeste ®® e kann man sich auch anhand eines Motorrads vorste ®® en. Fährt ein Motorrad ent ® ang einer kurvenreichen Strecke, dann wird es oft die Richtung wechse ® n müssen. Jene Ste ®® e, an der der Lenker vom Rechtseinsch ® ag zum Linkseinsch ® ag wechse ® n so ®® te, ist die Wendeste ®® e. Notwendige Bedingung für Wendeste ®® en Ist p eine Wendeste ®® e einer Funktion f, dann ist die Krümmung an dieser Ste ®® e 0. Es gi ® t daher: p ist Wendeste ®® e w f’’(p) = 0 Techno ® ogie Darste ®® ung Wendeste ®® en eq7977 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv