Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 66 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Krümmung einer Funktion f Eine Funktion f: D ¥ R ([a; b] ist eine Tei ® menge von D) heißt – ® inksgekrümmt in [a; b], wenn f’ in [a; b] streng monoton steigend ist. – rechtsgekrümmt in [a; b], wenn f’ in [a; b] streng monoton fa ®® end ist. – einheit ® ich gekrümmt in [a; b], wenn f in [a; b] nur ® inksgekrümmt oder nur rechts- gekrümmt ist. Da die Krümmung die Veränderung der ersten Ab ® eitung ist, kann man rechnerisch die Krüm- mungsart über das Vorzeichen der zweiten Ab ® eitung bestimmen. Krümmung einer Funktion f mit Hi ® fe von f’’ Für eine Po ® ynomfunktion f: D ¥ R ([a; b] ist eine Tei ® menge von D) gi ® t: – f’’(x) > 0 für a ®® e x * (a; b) w f ist ® inksgekrümmt in [a; b]. – f’’(x) < 0 für a ®® e x * (a; b) w f ist rechtsgekrümmt in [a; b]. Nebenstehende Abbi ® dung ist eine k ® eine Hi ® fe, um sich den Unterschied zwischen positiver und negativer Krümmung zu merken. 212. Zeige, dass die Funktion f mit f(x) = x 2 – 3 x + 4 einheit ® ich gekrümmt ist und gib die Art der Krümmung an. Es wird zuerst die zweite Ab ® eitung von f gebi ® det: f’(x) = 2 x – 3 f’’(x) = 2 Da die zweite Ab ® eitung von f für a ®® e x konstant positiv ist, ist f einheit ® ich ® inks gekrümmt. 213. Zeige, dass die Funktion f einheit ® ich gekrümmt ist und gib die Art der Krümmung an. a) f(x) = 3 x 2 + 5 x + 4 c) f(x) = ‒ 5 x 2 + x – 3 e) f(x) = (x – 4) · (2 – x) b) f(x) = ‒ 2 x 2 + 4 x – 5 d) f(x) = 8 x 2 + 4 f) f(x) = (2 x – 7) · (5 – 4 x) 214. In der Abbi ® dung ist der Graph einer Funktion f dargeste ®® t, sowie jene Ste ®® en, an denen die Funktion ihr Krümmungsverha ® ten ändert, eingezeichnet. Bestimme das Krümmungsverha ® ten von f. Was kannst du in den einze ® nen Bereichen über f’ und f’’ aussagen? Die Funktion wird in drei Interva ®® e getei ® t: (‒ • ; ‒ 3] f ist ® inksgekrümmt, da die Tangentensteigungen zunehmen. w f’ ist streng monoton steigend in (‒ • ; ‒ 3]. w f’’(x) > 0 für a ®® e x * (‒ • ; ‒ 3) [‒ 3; 2] f ist rechtsgekrümmt, da die Tangentensteigungen abnehmen. w f’ ist streng monoton fa ®® end in [‒ 3; 2]. w f’’(x) < 0 für a ®® e x * (‒ 3; 2) [2; • ) f ist ® inksgekrümmt, da die Tangentensteigungen zunehmen. w f’ ist streng monoton steigend in [2; • ). w f’’(x) > 0 für a ®® e x * (2; • ) rechtsgekrümmt/ ® inksgekrümmt/ negativ gekrümmt positiv gekrümmt (trauriges Gesicht) ( ® achendes Gesicht) x f(x) 2 4 2 4 0 f x f(x) 2 4 2 4 0 f muster muster x f(x) 2 4 –6 –4 –2 2 –4 –2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv