Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

64 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Berechnen von Randextrema Mit den erarbeiteten Methoden können a ®® e ® oka ® en Extremste ®® en von Po ® ynomfunktionen ermitte ® t werden oder auch g ® oba ® e Extremste ®® en, wenn die Tangenten in den entspre- chenden Punkten waagrecht sind. Mög ® iche g ® oba ® e Extremste ®® en am Rand müssen daher extra untersucht werden und mit den bereits berechneten ® oka ® en Extremste ®® en verg ® ichen werden. 208. Berechne a ®® e ® oka ® en und g ® oba ® en Extrempunkte der Funktion f mit f(x) = x 3 _ 3 – 5 x 2 + 21 x – 1 im Interva ®® [0; 8]. Für die ® oka ® en Extremste ®® en werden die Nu ®® ste ®® en der ersten Ab ® eitung berechnet: f’(x) = x 2 – 10 x + 21 w 0 = x 2 – 10 x + 21 w x 1 = 3, x 2 = 7 Um zu überprüfen, ob es sich tatsäch ® ich um ® oka ® e Extremste ®® en hande ® t, muss noch das Monotonieverha ® ten überprüft werden. f’(2) = 5 w f ist in (‒ • ; 3] streng monoton steigend. f’(4) = ‒ 3 w f ist in [3; 7] streng monoton fa ®® end. f’(8) = 5 w f ist in [7; • ) streng monoton steigend. Daher ® iegt an der Ste ®® e 3 ein ® oka ® es Maximum und an der Ste ®® e 7 ein ® oka ® es Minimum. Um herauszufinden, an we ® chen Ste ®® en die g ® oba ® en Extremste ®® en ® iegen, muss man die Funktionswerte der ® oka ® en Extremste ®® en mit den Funktionswerten an den Randste ®® en (bei 0 und 8) verg ® eichen: f(3) = 26 H = (3 1 26) f(7) = 15,3 T(7 1 15,3) f(0) = ‒1 R 1 = (0 1 ‒1) f(8) = 17,7 R 2 = (8 1 17,7) Man erkennt, dass der k ® einste Funktionswert an der Ste ®® e 0, der größte Funktionswert an der Ste ®® e 3 angenommen wird. w g ® oba ® es Minimum bei 0, g ® oba ® es Maximum bei 3. Bei einer g ® oba ® en Extremste ®® e, muss die erste Ab ® eitung an dieser Ste ®® e nicht 0 sein, da man auch die Randste ®® en betrachten muss. 209. Berechne a ®® e ® oka ® en und g ® oba ® en Extrempunkte der Funktion f im gegebenen Interva ®® . a) f(x) = 0,5 x 2 + 3 x + 3 [‒ 5; 0] e) f(x) = 1 _ 3 x 3 + 1 _ 2 x 2 – 2 x + 1 [‒ 3; 3] b) f(x) = 0,25 x 2 + 2 x – 2 [‒ 6; 0] f) f(x) = 1 _ 36 · (x 3 – 1,5 x 2 – 90 x + 12) [‒ 8; 11] c) f(x) = ‒ 0,5 x 2 + 2 x [‒1; 3] g) f(x) = 1 _ 4 x 4 – 1 _ 4 x 3 + 2 x 2 [‒1; 3] d) f(x) = 1 _ 9 · (x 3 – 15 x 2 + 63 x) [2; 10] h) f(x) = 1 _ 8 x 4 + 1 _ 6 x 3 – 3 _ 2 x 2 + 1 [‒ 4; 3] 210. Bestimme jene Punkte des Graphen der Funktion f im angegebenen Interva ®® , die den größten bzw. k ® einsten Funktionswert besitzen. a) f(x) = ‒ 2 x + 3 [‒ 3; 5] c) f(x) = 1 _ 6 x 3 – 3 _ 4 x 2 [‒1; 5] b) f(x) = (x – 4) · (x + 2) [‒ 4; 1] d) f(x) = 1 _ 27 x 3 + 1 _ 18 x 2 – 4 _ 3 x + 1 [‒ 8; 4] 211. Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = ‒ 0,02 t 3 + 0,45 t 2 + 5 (s in Meter, t in Sekunden) im Zeitinterva ®® [2; 15]. a) Zu we ® chen Zeitpunkten beträgt die Geschwindigkeit 3m/s? b) Wann hat der Körper seine höchste Geschwindigkeit erreicht? Wann ist die Geschwindig- keit am niedrigsten? c) In we ® chen Zeitinterva ®® en nimmt die Geschwindigkeit zu? In we ® chen Zeitinterva ®® en nimmt sie ab? muster Techno ® ogie Darste ®® ung Randextrema q6d5fg TIPP Nur zu 2 Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv